De uma área experimental com a cultura de arroz irrigado foram escolhidas ao acaso três unidades experimentais (parcelas) de um total de quinze, das quais, cinco estão com falhas devido ao ataque de pragas. Calcule a probabilidade de que:
a) nenhuma parcela apresente falha;
b) somente uma parcela apresente falha;
c) pelo menos uma apresente falha.
a) P(X=0)=0,2637
b) P(X=1)=0,4945
c) P(X >= 1)=0,7363

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário: Temos uma população de N=15 parcelas, das quais M=5 estão com falhas (devido a pragas) e N–M=10 sem falhas. Selecionamos aleatoriamente n=3 parcelas sem reposição e definimos X como o número de parcelas com falhas. Para resolver precisamos usar a distribuição hipergeométrica e o conceito de combinações.

Passo 2

Fórmula da distribuição hipergeométrica: a probabilidade de obter exatamente x sucessos (aqui, falhas) em n retiradas sem reposição de uma população de tamanho N com M sucessos é dada por:
P(X=x)=binomMx,binomN-Mn-xbinomNn

Passo 3

Cálculo de P(X=0): queremos nenhuma parcela com falha (x=0). Substituindo na fórmula:
P(X=0)=binom50,binom103binom153=1times120455approx0,2637

Passo 4

Cálculo de P(X=1): queremos exatamente uma parcela com falha (x=1). Substituindo:
P(X=1)=binom51,binom102binom153=5times45455approx0,4945

Passo 5

Cálculo de P(X≥1): é mais simples usar o complementar de P(X=0):
P(X>=1)=1-P(X=0)=1-0,2637=0,7363

Resposta

a) 0,2637; b) 0,4945; c) 0,7363

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