Em um posto de pedágio de uma rodovia, constata-se que, num dado instante, a chegada de um veículo comporta-se segundo a lei de Poisson. A probabilidade de nenhum veículo, P(X=0), se apresentar para pagar o pedágio em um instante t é de 0,4966. Calcule a probabilidade de que menos de três carros estejam em fila, num instante para pagar o pedágio.
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P(X<3)=0,9659

Passo 1

O enunciado diz que a chegada de veículos ao pedágio segue uma distribuição de Poisson e que P(X=0)=0,4966 num certo intervalo de tempo t. Queremos achar P(X<3), ou seja, a probabilidade de 0, 1 ou 2 veículos chegarem nesse mesmo intervalo. Para isso, vamos usar a fórmula geral de Poisson, que é P(X=k)=e^-lambda tdfrac(lambda t)^kk!.

Passo 2

Primeiro, encontramos o parâmetro médio lambda t a partir de P(X=0). Como
e^-lambda t=P(X=0)=0,4966
temos que
lambda t = -ln(0,4966)approx 0,7000

Passo 3

Agora, para calcular P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2), usamos a soma
P(X<3)=sumk=0^2 e^-lambda tdfrac(lambda t)^kk!

Passo 4

Substituindo lambda tapprox0,7000 e e^-lambda t=0,4966, obtemos:
P(X<3)=0,4966l(1 + 0,7000 + dfrac0,7000^22r)=0,4966times1,9450approx0,9659

Resposta

0,9659

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