A área da região englobada pelas curvas y = x^2 e y = raiz(3)(x) é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a área da região limitada pelas curvas e . Isso envolve cálculo de integrais, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Para isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das duas curvas e depois configurar a integral correta para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas funções:

Passo 3

Resolvendo a equação , elevamos ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:

Passo 4

Agora, trazemos tudo para um lado da equação:
Fatorando, temos:

Passo 5

Resolvendo , obtemos:
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Com os limites de integração definidos de a , precisamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar :
Como é maior que no intervalo de 0 a 1, a função está acima.

Passo 7

A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de 0 a 1:
Á

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:

Passo 9

Substituindo na expressão da área:
Á

Passo 10

Calculando nos limites:
Para :
Para :

Resposta

A área da região englobada pelas curvas e é unidades de área.

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