A área da região englobada pelas curvas
e
é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a área da região limitada pelas curvas
e
. Isso envolve cálculo de integrais, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Para isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das duas curvas e depois configurar a integral correta para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas funções:
Passo 3
Resolvendo a equação
, elevamos ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Passo 4
Agora, trazemos tudo para um lado da equação:
Fatorando, temos:
Passo 5
Resolvendo
, obtemos:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Com os limites de integração definidos de
a
, precisamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar
:
Como
é maior que
no intervalo de 0 a 1, a função
está acima.
Passo 7
A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de 0 a 1:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 9
Substituindo na expressão da área:
Passo 10
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Resposta
A área da região englobada pelas curvas
e
é
unidades de área.