Use um CAS para encontrar a área exata englobada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar a área exata que fica entre as curvas
e
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais definidas para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Para isso, igualamos as duas equações:
Simplificando:
Passo 3
Vamos fatorar essa equação para encontrar os valores de
:
Isso nos dá uma solução inicial
. Agora, precisamos resolver
. Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja
, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Voltando para
:
Mas para simplificar, usaremos uma calculadora para encontrar valores aproximados de
. No entanto, como estamos usando um CAS, manteremos essas raízes simbólicas.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar qual função está por cima da outra em cada intervalo definido por esses pontos. Normalmente, isso é feito testando valores de
em cada intervalo para ver qual função tem valor maior.
Passo 5
A área entre duas curvas
e
de
a
é dada por:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular a diferença
:
Então, a área é:
Passo 6
Usando o CAS, calculamos a integral definida nos limites dos pontos de interseção encontrados no Passo 3. O CAS cuidará da complexidade das raízes e nos dará a área exata simbólica ou numérica, dependendo das capacidades do sistema.
Resposta
A área exata englobada pelas curvas
e
é dada pela integral:
onde
e
são os valores de
onde as duas curvas se intersectam. Usando um CAS, essa integral pode ser calculada para fornecer o valor exato da área.