Uma área a ser aterrada consiste de uma camada de argila mole com 8 m de espessura, acima de uma camada de areia. O nível piezométrico coincide com a superfície do terreno. A argila será adensada pela aplicação em toda a área de um aterro com 4 m de altura e peso específico de 16,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Ensaios executados na argila indicam \mathrm{c}_{\mathrm{v}}=4 \times 10^{-3} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{seg} e \gamma_{\text {sat }}=16,8 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Calcule a tensão vertical efetiva e a poro-pressão no meio da camada de argila nas três situações:
a. Imediatamente após o lançamento da sobrecarga (considerar instantânea)
b. 3 meses após o lançamento
c. 2 anos após o lançamento.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, no ponto situado no meio da camada de argila (ou seja, a 4\\ \mathrm{m} abaixo da superfície), a tensão vertical efetiva e a poro-pressão nas três situações: (a) imediatamente após o lançamento da sobrecarga (considerada instantânea), (b) 3 meses após, e (c) 2 anos após. \n
Informações fornecidas (vou listar todas e claramente):\n
  • Espessura da camada de argila: \;H=8\\ \mathrm{m}.\n
  • O ponto de interesse fica no meio da camada: \;z=H/2=4\\ \mathrm{m}.\n
  • Nível piezométrico coincide com a superfície do terreno (logo a pressão de poro na superfície é atmosférica).\n
  • A argila será carregada por um aterro de altura \;h=4\\ \mathrm{m} e peso específico \;\gamma_{\text{aterro}}=16{,}5\\ \mathrm{kN/m^{3}}.\n
  • Ensaios na argila indicam o coeficiente de adensamento \;c_{v}=4\times10^{-3}\\ \mathrm{cm^{2}/s} (vou converter para \mathrm{m^{2}/s}).\n
  • Peso específico saturado da argila: \;\gamma_{\text{sat}}=16{,}8\\ \mathrm{kN/m^{3}}.\n
  • Peso específico da água que vou usar: \;\gamma_{w}=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^{3}} (valor usual).\n
  • Pressupostos implícitos (não perguntarei, apenas escolho um padrão de engenharia razoável): vou considerar que a carga adicional atuante na argila é simplesmente a pressão vertical uniforme causada pelo aterro (1D), ou seja, \Delta\sigma=\gamma_{\text{aterro}}\cdot h. Também vou assumir que a camada drena verticalmente para cima e para baixo (dupla drenagem), porque o nível piezométrico coincide com a superfície e o substrato é areia permeável — isto é o caso mais comum em questões assim; em consequência o comprimento de escoamento (comprimento de drenagem) é \;H_{dr}=H/2=4\\ \mathrm{m}. (Se você preferir outra hipótese — por ex. drenagem única — eu posso refazer, mas não vou pedir informação extra agora.)\n

Passo 2

Vou calcular primeiro quantidades básicas que serão usadas em todas as situações: conversões, tensões iniciais e aumento de tensão total pela sobrecarga.\n
  1. Converter \;c_{v} para \mathrm{m^{2}/s}.\n
c_{v}=4\times10^{-3}\\ \mathrm{cm^{2}/s}=4\times10^{-3}\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}=4{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  1. A sobrecarga (aument. de tensão total aplicada) é a pressão vertical gerada pelo aterro:\n
\Delta\sigma=\gamma_{\text{aterro}}\cdot h=16{,}5\\ \mathrm{kN/m^{3}}\times4\\ \mathrm{m}=66{,}0\\ \mathrm{kN/m^{2}}.
  1. Pressão de poro inicial antes da carga no ponto a z=4\\ \mathrm{m} (como o nível piezométrico coincide com a superfície, a pressão hidrostática a essa profundidade é):\n
u_{0}=\gamma_{w}\cdot z=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^{3}}\times4\\ \mathrm{m}=39{,}24\\ \mathrm{kN/m^{2}}.
  1. Tensão total inicial (devida ao próprio solo saturado acima do ponto) no meio da camada:\n
\sigma_{v0}=\gamma_{\text{sat}}\cdot z=16{,}8\\ \mathrm{kN/m^{3}}\times4\\ \mathrm{m}=67{,}20\\ \mathrm{kN/m^{2}}.
  1. Tensão efetiva inicial (antes da sobrecarga):\n
\sigma'_{v0}=\sigma_{v0}-u_{0}=(16{,}8-9{,}81)\times4=6{,}99\times4=27{,}96\\ \mathrm{kN/m^{2}}.
(ou simplesmente \sigma'_{v0}=\gamma' \cdot z com \gamma'=\gamma_{\text{sat}}-\gamma_{w}=6{,}99\\ \mathrm{kN/m^{3}}).\n
  1. Tensão total no ponto imediatamente após o aterro (total final):\n
\sigma_{v,\text{final}}=\sigma_{v0}+\Delta\sigma=67{,}20+66{,}0=133{,}20\\ \mathrm{kN/m^{2}}.
Isso vale para todos os tempos — a carga total aplicada permanece.\n
Resumo numérico até aqui (valores que vou usar):\n
\;u_{0}=39{,}24\\ \mathrm{kPa},\quad \sigma_{v0}=67{,}20\\ \mathrm{kPa},\quad \sigma'_{v0}=27{,}96\\ \mathrm{kPa},\quad \Delta\sigma=66{,}0\\ \mathrm{kPa},\quad \sigma_{v,\text{final}}=133{,}20\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Situação (a) — imediatamente após o lançamento da sobrecarga (considerada instantânea).\n
Explicação física curta (do ponto de vista didático): quando a carga é aplicada muito rapidamente, a água nos poros não tem tempo de escapar. A resposta do solo é, no primeiro instante, praticamente não drenada: a tensão efetiva não se altera instantaneamente, e todo o aumento de tensão total aparece como aumento da poro-pressão (pressão de poro aumenta instantaneamente em \Delta\sigma).\n
Portanto:\n
  • A poro-pressão imediata no meio da camada é\n
u_{\text{inst}}=u_{0}+\Delta\sigma=39{,}24+66{,}0=105{,}24\\ \mathrm{kN/m^{2}}.
  • A tensão efetiva imediata permanece igual à tensão efetiva inicial (pois o aumento de tensão total foi absorvido como aumento de pressão de poro):\n
\sigma'_{v,\text{inst}}=\sigma'_{v0}=27{,}96\\ \mathrm{kN/m^{2}}.

Passo 4

Teoria usada para as situações com tempo (b) e (c): adensamento e fator de tempo.\n
Vou explicar a fórmula que relaciona o tempo real t com o fator adimensional de tempo \;T_{v}, que é a entrada nas fórmulas de adensamento de Terzaghi.\n
A definição é:\n
T_{v}=\frac{c_{v}\, t}{H_{dr}^{2}},
onde:\n
  • \;c_{v} é o coeficiente de adensamento (m^{2}/s);\n
  • \;t é o tempo real (s);\n
  • \;H_{dr} é o comprimento de escoamento (m): para drenagem dupla \;H_{dr}=H/2, para drenagem única \;H_{dr}=H.\n\n
    Para drenagem dupla (hipótese adotada) temos \;H_{dr}=4\\ \mathrm{m}. A partir de T_{v} podemos obter o grau de adensamento médio U (fração da redução média da sobrepressão de poro já dissipada) pela solução em série de Terzaghi:\n
U=1-\frac{8}{\pi^{2}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^{2}}\exp\!\Big(-\frac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}T_{v}\Big).
Isso pode ser avaliado numericamente com poucos termos (o primeiro termo já dá boa aproximação para Tv não muito grande).\n
Interpretação prática que usarei para relacionar a poro-pressão no ponto médio: partindo de uma sobrepressão inicial igual a \Delta\sigma em todo o perfil, a sobrepressão média restante é (1-U)\Delta\sigma. Para muitas questões de prova (e aqui) usamos a aproximação prática de que a fração remanescente de sobrepressão no ponto médio é aproximadamente (1-U)\Delta\sigma, e assim a poro-pressão no ponto médio em tempo t é\n
u(t)=u_{0}+(1-U)\,\Delta\sigma,
e a tensão efetiva é\n
\sigma'_{v}(t)=\sigma_{v,\text{final}}-u(t)=\sigma'_{v0}+U\,\Delta\sigma.
Vou calcular T_{v}, U e então u(t) e \sigma'_{v}(t) para t=3 meses e t=2 anos.

Passo 5

Cálculo numérico de T_{v} para t=3 meses e t=2 anos.\n
Primeiro converto tempos para segundos (uso 1 dia = 24·3600 s):\n
  • 3 meses \approx 90 dias \Rightarrow t_{3m}=90\times24\times3600=7\,776\,000\\ \mathrm{s}.\n
  • 2 anos \approx 730 dias \Rightarrow t_{2y}=730\times24\times3600=63\,072\,000\\ \mathrm{s}.\n
Agora c_{v}=4{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s} e H_{dr}=4\\ \mathrm{m}. Logo:\n
T_{v}(3\\ \text{meses})=\frac{4{,}0\times10^{-7}\times7\,776\,000}{4^{2}}=\frac{3{,}1104}{16}=0{,}1944.
T_{v}(2\\ \text{anos})=\frac{4{,}0\times10^{-7}\times63\,072\,000}{4^{2}}=\frac{25{,}2288}{16}=1{,}5768.

Passo 6

Cálculo do grau médio de adensamento U usando a série (vou calcular os primeiros termos e mostrar que termos superiores são desprezíveis).\n
A constante que aparece é \pi^{2}\approx9{,}8696. Defino para os termos exponenciais o coeficiente\n
\alpha_{m}=\frac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}.
Calcule os \alpha_{m} relevantes:\n
\alpha_{0}=2{,}4674,\quad \alpha_{1}=22{,}2066,\quad \alpha_{2}=61{,}6850 (arredondados).\n
Para T_{v}=0{,}1944 (3 meses):\n
  • termo m=0: \exp(-\alpha_{0}T_{v})=\exp(-2{,}4674\times0{,}1944)=\exp(-0{,}4797)=0{,}6190.\n
  • termo m=1: \exp(-\alpha_{1}T_{v})=\exp(-22{,}2066\times0{,}1944)=\exp(-4{,}314)=0{,}0134 (já bem pequeno); contribuição pesada reduzida por 1/(2m+1)^2=1/9.\n
  • termo m=2 é praticamente zero ( \sim10^{-6}).\n
    Somando relevantes:\n
\sum \frac{1}{(2m+1)^{2}}\exp(-\alpha_{m}T_{v})\approx 1\cdot0{,}6190 + \frac{1}{9}\cdot0{,}0134 \approx 0{,}6190 + 0{,}00149=0{,}6205.
Então\n
U(3\\ \text{meses})\approx 1-\frac{8}{\pi^{2}}\times0{,}6205 =1-0{,}81057\times0{,}6205 \approx1-0{,}5020=0{,}4980.
Ou seja, U\approx49{,}8\% após 3 meses.
Para T_{v}=1{,}5768 (2 anos):\n
  • termo m=0: \exp(-\alpha_{0}T_{v})=\exp(-2{,}4674\times1{,}5768)=\exp(-3{,}888)\approx0{,}0205.\n
  • termo m=1 e superiores: \exp(-\alpha_{1}T_{v}) e demais são praticamente zero (ordens 10^{-15} ou menores).\n
    Soma ≈ 0{,}0205. Então\n
U(2\\ \text{anos})\approx1-\frac{8}{\pi^{2}}\times0{,}0205=1-0{,}81057\times0{,}0205\approx1-0{,}01662=0{,}9834.
Ou seja, U\approx98{,}34\% após 2 anos (praticamente consolidado).

Passo 7

Agora uso U para obter a poro-pressão e a tensão efetiva no ponto médio nos tempos pedidos.\n
Fórmulas (já apresentadas, mas repito para clareza):\n
u(t)=u_{0}+(1-U)\Delta\sigma,\qquad \sigma'_{v}(t)=\sigma'_{v0}+U\,\Delta\sigma.
Aplicando para cada caso:
(a) Já feito no Passo 3: instante imediato\n
u_{\text{inst}}=105{,}24\\ \mathrm{kPa},\qquad \sigma'_{v,\text{inst}}=27{,}96\\ \mathrm{kPa}.
(b) t=3 meses, U=0{,}4980:\n
(1-U)=0{,}5020. \text{excesso remanescente}=(1-U)\Delta\sigma=0{,}5020\times66{,}0=33{,}132\\ \mathrm{kPa}.
u(3\\ \text{meses})=u_{0}+33{,}132=39{,}24+33{,}132=72{,}372\\ \mathrm{kPa}.
\sigma'_{v}(3\\ \text{meses})=\sigma'_{v0}+U\Delta\sigma=27{,}96+0{,}4980\times66{,}0=27{,}96+32{,}868=60{,}828\\ \mathrm{kPa}.
(c) t=2 anos, U=0{,}9834:\n
(1-U)=0{,}0166.
\text{excesso remanescente}=0{,}0166\times66{,}0=1{,}0956\\ \mathrm{kPa}.
u(2\\ \text{anos})=u_{0}+1{,}0956=39{,}24+1{,}0956=40{,}3356\\ \mathrm{kPa}.
\sigma'_{v}(2\\ \text{anos})=\sigma'_{v0}+U\Delta\sigma=27{,}96+0{,}9834\times66{,}0=27{,}96+64{,}9044=92{,}8644\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando de modo prático para duas casas decimais onde pertinente, temos os valores numéricos prontos.

Resposta

(a) \sigma'_{v}=27{,}96\\ \mathrm{kPa}, \;u=105{,}24\\ \mathrm{kPa}\n
(b) \sigma'_{v}=60{,}83\\ \mathrm{kPa}, \;u=72{,}37\\ \mathrm{kPa}\n
(c) \sigma'_{v}=92{,}86\\ \mathrm{kPa}, \;u=40{,}34\\ \mathrm{kPa}

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