Uma camada de argila de 1,5 \mathrm{~m} de espessura está localizada entre 2 camadas de areia. No centro da camada de argila, a tensão total vertical é de 200 kPa e a poro pressão é 100 kPa . O aumento de tensão vertical causado pela construção de uma estrutura, no centro da camada de argila será de 100 kPa . Assumir solo saturado, \mathrm{Cr}=0,05, \mathrm{Cc}=0,3 \mathrm{e} \mathrm{e}=0,9. Estimar o recalque primário da argila, considerando as situações (1) solo normalmente adensado (R: 7,1cm), (2) solo pré-adensado (RSA = 2) ( \mathbf{R}: \mathbf{1 , 1} \mathbf{c m}), (3) solo pré-adensado ( RSA =1,5) \mathbf{( R : 3 , 6 c m )}. RSA = OCR

Passo 1

Vamos esclarecer o que o enunciado informou e o que ele pede, com todas as quantidades bem organizadas:
  • Espessura da camada de argila: \;H=1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • No centro da argila: tensão total vertical \;\sigma_v=200\\ \mathrm{kPa}.
  • No centro da argila: poropressão inicial \;u_0=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Aumento de tensão vertical causado pela obra (no centro): \;\Delta\sigma_v=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Solo saturado.
  • Índices de compressibilidade: recompressão \;C_r=0{,}05 e compressão virgem \;C_c=0{,}3.
  • Void ratio inicial: \;e_0=0{,}9.
  • RSA é o mesmo que OCR (overconsolidation ratio).
  • Pedem o recalque primário da argila para três situações:
    1. Solo normalmente adensado (RSA =1).
    2. Solo pré-adensado com RSA =2.
    3. Solo pré-adensado com RSA =1{,}5.
Observação: o enunciado deu também, entre parênteses, valores esperados de recalque ( R) para cada caso: 7{,}1\\ \mathrm{cm}, 1{,}1\\ \mathrm{cm} e 3{,}6\\ \mathrm{cm}. Vou calcular passo a passo para chegar nesses valores.

Passo 2

Explicação das fórmulas e conceitos que vamos usar (aula curta, mas completa):
  • Tensão efetiva inicial \sigma'_0 é a diferença entre tensão total e poropressão:
    \sigma'_0=\sigma_v-u_0.
    Aqui \sigma_v é a tensão total vertical e u_0 é a poropressão inicial.
  • Após a construção, a nova tensão efetiva no centro da camada será
    \sigma'_m=\sigma'_0+\Delta\sigma_v.
    Onde \Delta\sigma_v é o aumento de tensão total transmitido à camada (assumimos aqui que esse aumento aparece como aumento de tensão efetiva central — conforme enunciado).
  • O estado de pré-adensamento é medido pela tensão prévia máxima (tensão de pré-consolidação) \sigma'_p. Ela se relaciona com OCR (ou RSA) por
    \mathrm{RSA} = \mathrm{OCR} = \frac{\sigma'_p}{\sigma'_0}\quad\Rightarrow\quad \sigma'_p=\mathrm{RSA}\cdot\sigma'_0.
  • Variação do void ratio ( \Delta e) por variação de tensão efetiva é dada por duas fórmulas (logarítmicas):
    • Se a tensão final \sigma'_m permanece menor ou igual a \sigma'_p (ou seja, carregamento dentro da faixa de recompressão): \Delta e = -C_r\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_m}{\sigma'_0}\right).
    • Se a tensão final \sigma'_m excede \sigma'_p (primeiro recompressão até \sigma'_p, depois compressão virgem até \sigma'_m): \Delta e = -C_r\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_p}{\sigma'_0}\right)\;-\;C_c\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_m}{\sigma'_p}\right).
    Nesses fórmulas:
    • \Delta e é a variação do void ratio (tradicionalmente negativa para o solo que adensa).
    • C_r é o índice de recompressão (uso quando se carrega até a pré-consolidação).
    • C_c é o índice de compressão virgem (uso quando se passa da pré-consolidação).
  • Recalque primário (assumindo que toda a redução de void ratio se traduz em redução vertical da camada homogênea) é dado por:
    \Delta H = H\cdot\frac{\Delta e}{1+e_0}.
    Onde e_0 é o void ratio inicial e H a espessura da camada. Nota: usar \Delta e em módulo positivo para achar magnitude do recalque (já que \Delta e é negativo quando adensa).
Resumo do plano: calcular \sigma'_0, \sigma'_m, \sigma'_p para cada caso, determinar que fórmula de \Delta e usar (só recompressão ou recompressão + compressão virgem), calcular \Delta e e então \Delta H.

Passo 3

Calcular a tensão efetiva inicial:
  • Pelo enunciado, \sigma_v=200\\ \mathrm{kPa} e u_0=100\\ \mathrm{kPa}. Então \sigma'_0=\sigma_v-u_0=200-100=100\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular a tensão efetiva final (após carregamento):
  • O aumento é \Delta\sigma_v=100\\ \mathrm{kPa}, logo \sigma'_m=\sigma'_0+\Delta\sigma_v=100+100=200\\ \mathrm{kPa}.
Agora aplicamos os cálculos específicos para cada situação de RSA/OCR.

Passo 5

Caso (1): solo normalmente adensado (RSA =1).
  • Primeiro, \sigma'_p=\mathrm{RSA}\cdot\sigma'_0=1\cdot100=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Comparação: \sigma'_m=200\\ \mathrm{kPa}>\sigma'_p=100\\ \mathrm{kPa}. Portanto vamos usar exclusivamente a fórmula de compressão virgem (não há apenas recompressão): desde \sigma'_0 a \sigma'_m é compressão virgem.
  • Variação do void ratio: \Delta e = -C_c\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_m}{\sigma'_0}\right) = -0{,}3\log_{10}\!\left(\frac{200}{100}\right).Calculemos passo a passo: \log_{10}\!\left(\frac{200}{100}\right)=\log_{10}(2)\approx 0{,}30103.
\Delta e = -0{,}3\times 0{,}30103 \approx -0{,}090309.
Magnitude |\Delta e|=0{,}090309.
  • Recalque: \Delta H = H\cdot\frac{|\Delta e|}{1+e_0}=1{,}5\cdot\frac{0{,}090309}{1+0{,}9}.
1+e_0=1+0{,}9=1{,}9.
\Delta H =1{,}5\cdot\frac{0{,}090309}{1{,}9} \approx 1{,}5\cdot 0{,}0475321 \approx 0{,}071298\\ \mathrm{m}.
Em centímetros:
\Delta H \approx 7{,}13\\ \mathrm{cm}.
Arredondando para duas casas significativas: \;7{,}1\\ \mathrm{cm}, que coincide com o valor dado.

Passo 6

Caso (2): solo pré-adensado com RSA =2.
  • Calcule \sigma'_p: \sigma'_p=\mathrm{RSA}\cdot\sigma'_0=2\cdot100=200\\ \mathrm{kPa}.
  • Comparação: \sigma'_m=200\\ \mathrm{kPa}=\sigma'_p. Isso significa que o carregamento leva exatamente até a pré-consolidação; só há recompressão (não se entra na faixa de compressão virgem).
  • Variação do void ratio (apenas recompressão de \sigma'_0 a \sigma'_p): \Delta e = -C_r\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_p}{\sigma'_0}\right) = -0{,}05\log_{10}\!\left(\frac{200}{100}\right).
\log_{10}\!\left(\frac{200}{100}\right)=\log_{10}(2)\approx 0{,}30103.
\Delta e = -0{,}05\times 0{,}30103 \approx -0{,}0150515.
Magnitude |\Delta e|=0{,}0150515.
  • Recalque: \Delta H = 1{,}5\cdot\frac{0{,}0150515}{1{,}9} \approx 1{,}5\cdot 0{,}0079219 \approx 0{,}0118829\\ \mathrm{m}.Em centímetros: \Delta H \approx 1{,}188\\ \mathrm{cm}.Arredondando: \;1{,}19\\ \mathrm{cm} (ou, conforme o enunciado, \;1{,}1\\ \mathrm{cm} com arredondamento menor).

Passo 7

Caso (3): solo pré-adensado com RSA =1{,}5.
  • Primeiro, \sigma'_p=\mathrm{RSA}\cdot\sigma'_0=1{,}5\cdot100=150\\ \mathrm{kPa}.
  • Comparação: \sigma'_m=200\\ \mathrm{kPa}>\sigma'_p=150\\ \mathrm{kPa}. Então o carregamento tem duas fases: recompressão de \sigma'_0 até \sigma'_p (usar C_r) e depois compressão virgem de \sigma'_p até \sigma'_m (usar C_c).
  • Variação do void ratio total: \Delta e = -C_r\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_p}{\sigma'_0}\right)\;-\;C_c\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_m}{\sigma'_p}\right).Calculemos cada logaritmo: \log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_p}{\sigma'_0}\right)=\log_{10}\!\left(\frac{150}{100}\right)=\log_{10}(1{,}5)\approx 0{,}1760913.
\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_m}{\sigma'_p}\right)=\log_{10}\!\left(\frac{200}{150}\right)=\log_{10}\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx 0{,}1249387.
Agora aplicar índices:
\Delta e = -0{,}05\times 0{,}1760913 - 0{,}3\times 0{,}1249387.
\Delta e \approx -0{,}0088046 - 0{,}0374816 \approx -0{,}0462862.
Magnitude |\Delta e|=0{,}0462862.
  • Recalque: \Delta H = 1{,}5\cdot\frac{0{,}0462862}{1{,}9} \approx 1{,}5\cdot 0{,}0243622 \approx 0{,}0365433\\ \mathrm{m}.Em centímetros: \Delta H \approx 3{,}65\\ \mathrm{cm}.Arredondando: aproximadamente \;3{,}6\\ \mathrm{cm}, que coincide com o valor indicado no enunciado.

Passo 8

Resumo interpretativo rápido (um empurrãozinho motivacional): os cálculos mostram claramente como o histórico de carregamento (RSA/OCR) altera fortemente o recalque primário. Solo que já foi pré-adensado (OCR grande) sofre muito menos recalque quando é carregado dentro da faixa de recompressão. Você fez bem em pedir a resolução passo a passo — esse é o tipo de raciocínio que cai bastante na prova. Continua assim!

Resposta

(1) \;7{,}13\\ \mathrm{cm}
(2) \;1{,}19\\ \mathrm{cm}
(3) \;3{,}65\\ \mathrm{cm}

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