1. Se S é a área superficial ( e m \mathrm{~m}^{2} ) do corpo humano, então a formula que dá um valor aproximado para S é:
S=2 \cdot W^{0,4} \cdot H^{0,7}
Onde: H (em m) é a altura e W (em kg) é a massa.
a) Se uma pessoa tem \mathrm{W}=70 \mathrm{~kg} e \mathrm{H}=1,80 \mathrm{~m}, determine sua área superficial.
b) Se outra pessoa tem \mathrm{W}=90 \mathrm{~kg} e \mathrm{H}=1,60 \mathrm{~m}, calcule também a sua área superficial.
c) Quem tem maior área superficial, a primeira ou a segunda pessoa. O que determinou a maior área superficial, H ou W ?
d) Se \mathrm{W}=70 \mathrm{~kg} e \mathrm{H}=1,80 \mathrm{~m}, achar \frac{\partial S}{\partial W} e \frac{\partial S}{\partial H}. Interpretar os resultados.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula aproximada da área superficial S (em \mathrm{m}^2) do corpo humano:
S = 2 \cdot W^{0,4} \cdot H^{0,7},
onde W (em \mathrm{kg}) é a massa e H (em \mathrm{m}) é a altura. As perguntas são:
  • (a) Calcular S para W=70 e H=1{,}80.
  • (b) Calcular S para W=90 e H=1{,}60.
  • (c) Comparar as duas áreas: qual é maior e o que (altura H ou peso W) determinou a maior área superficial?
  • (d) Para W=70 e H=1{,}80, achar \dfrac{\partial S}{\partial W} e \dfrac{\partial S}{\partial H} e interpretar os resultados.
Todas as informações relevantes do enunciado estão acima; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Como vamos precisar calcular potências com expoentes fracionários ( W^{0,4}, H^{0,7}), explico uma forma prática e limpa para fazer isso com precisão: usar a identidade
a^b = e^{b\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural. Isso transforma a potência em multiplicação e exponencial, o que facilita cálculos numéricos (com uma calculadora científica ou tabelas). Também é útil lembrar que 0{,}4=\tfrac{2}{5} e 0{,}7=\tfrac{7}{10}, mas tomar radicais (como raiz quinta) manualmente é mais trabalhoso; portanto, usaremos a identidade acima para avaliar as potências numericamente.
Vou mostrar passo a passo o cálculo para a primeira pessoa; o mesmo método vale para a segunda.

Passo 3

Calcular S para W=70 e H=1{,}80.
  1. Calcular W^{0,4}:
W^{0,4} = 70^{0,4} = e^{0{,}4\ln 70}.
Usando \ln 70 \approx 4{,}248495242 temos
0{,}4\ln 70 \approx 1{,}699398097,
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70^{0,4} \approx e^{1{,}699398097} \approx 5{,}472.
  1. Calcular H^{0,7}:
H^{0,7} = 1{,}80^{0,7} = e^{0{,}7\ln 1{,}8}.
Usando \ln 1{,}8 \approx 0{,}587786665 temos
0{,}7\ln 1{,}8 \approx 0{,}411450666,
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1{,}80^{0,7} \approx e^{0{,}411450666} \approx 1{,}509.
  1. Agora S:
S = 2\cdot 70^{0,4}\cdot 1{,}80^{0,7} \approx 2\cdot 5{,}472\cdot 1{,}509 \approx 16{,}514\\ \mathrm{m}^2.
(Se você fizer com uma calculadora obterá número muito próximo.)

Passo 4

Calcular S para W=90 e H=1{,}60.
  1. W^{0,4} = 90^{0,4} = e^{0{,}4\ln 90}. Como \ln 90 \approx 4{,}49980967,
0{,}4\ln 90 \approx 1{,}799923868,
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90^{0,4} \approx e^{1{,}799923868} \approx 6{,}049.
  1. H^{0,7} = 1{,}60^{0,7} = e^{0{,}7\ln 1{,}6}. Como \ln 1{,}6 \approx 0{,}47000363,
0{,}7\ln 1{,}6 \approx 0{,}329002541,
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1{,}60^{0,7} \approx e^{0{,}329002541} \approx 1{,}389.
  1. Agora S:
S = 2\cdot 90^{0,4}\cdot 1{,}60^{0,7} \approx 2\cdot 6{,}049\cdot 1{,}389 \approx 16{,}806\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Comparação e análise do que determinou a maior área.
  1. Comparando os dois valores numéricos:
S_1 \approx 16{,}514\\ \mathrm{m}^2,\qquad S_2 \approx 16{,}806\\ \mathrm{m}^2.
Portanto a segunda pessoa tem a área superficial ligeiramente maior.
  1. Para ver o que determinou a diferença podemos escrever a razão
\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{W_2}{W_1}\right)^{0,4}\!\left(\frac{H_2}{H_1}\right)^{0,7}.
Substituindo W_2/W_1 = 90/70 \approx 1{,}2857 e H_2/H_1 = 1{,}60/1{,}80 \approx 0{,}8889,
\left(\frac{90}{70}\right)^{0,4} \approx 1{,}106\quad\text{(efeito do aumento de \(W\))},
\left(\frac{1{,}60}{1{,}80}\right)^{0,7} \approx 0{,}921\quad\text{(efeito da queda de \(H\))}.
Multiplicando: 1{,}106\cdot 0{,}921\approx 1{,}019, ou seja, S_2 é cerca de 1{,}9\% maior que S_1. Conclusão: o aumento do peso ( W) elevou a área em cerca de 10{,}6\%, enquanto a menor altura reduziu a área em cerca de 7{,}9\%. O efeito líquido foi um pequeno aumento, portanto o que “venceu” foi o aumento de W.

Passo 6

Agora vamos derivar as derivadas parciais simbólicas e explicar o procedimento de forma didática.
Regra que usamos (regra do poder): se f(x)=x^n com n constante, então
\frac{df}{dx} = n x^{n-1}.
No contexto multivariável, ao derivar em relação a uma variável tratamos as outras como constantes. Aplicando isso a
S(W,H) = 2\,W^{0,4}H^{0,7},
temos duas derivadas parciais.

Passo 7

Calcular simbolicamente as parciais:
  1. Derivada parcial em relação a W:
\frac{\partial S}{\partial W} = 2 \cdot 0{,}4\, W^{0{,}4-1}\, H^{0{,}7} = 0{,}8\, W^{-0{,}6}\, H^{0{,}7}.
  1. Derivada parcial em relação a H:
\frac{\partial S}{\partial H} = 2 \cdot 0{,}7\, W^{0{,}4}\, H^{0{,}7-1} = 1{,}4\, W^{0{,}4}\, H^{-0{,}3}.
Expliquei as regras: multiplicamos pelo expoente e subtraímos 1 do expoente da variável derivada; a outra variável fica como fator constante.

Passo 8

Avaliar numericamente as parciais em W=70 e H=1{,}80.
Já calculamos W^{0,4}\approx 5{,}472 e H^{0,7}\approx 1{,}509.
  1. Para \dfrac{\partial S}{\partial W}:
\frac{\partial S}{\partial W} = 0{,}8\; W^{-0{,}6}\; H^{0{,}7}.
Podemos obter W^{-0{,}6} usando W^{-0{,}6}=W^{0{,}4}/W porque -0{,}6=0{,}4-1. Assim
W^{-0{,}6} = \frac{W^{0{,}4}}{W} \approx \frac{5{,}472}{70}\approx 0{,}07817.
Logo
\frac{\partial S}{\partial W} \approx 0{,}8\cdot 0{,}07817\cdot 1{,}509 \approx 0{,}0943\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{kg}.
Interpretação: mantendo a altura fixa em 1{,}80\\ \mathrm{m}, um aumento de 1\\ \mathrm{kg} no peso aumenta a área superficial em aproximadamente 0{,}0943\\ \mathrm{m}^2.
  1. Para \dfrac{\partial S}{\partial H}:
\frac{\partial S}{\partial H} = 1{,}4\; W^{0{,}4}\; H^{-0{,}3}.
Já temos W^{0,4}\approx 5{,}472. Calcular H^{-0{,}3}=1{,}80^{-0{,}3}=e^{-0{,}3\ln 1{,}8}. Usando \ln 1{,}8\approx 0{,}587786665,
-0{,}3\ln 1{,}8 \approx -0{,}176336,
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H^{-0{,}3} \approx e^{-0{,}176336}\approx 0{,}8385.
Portanto
\frac{\partial S}{\partial H} \approx 1{,}4\cdot 5{,}472\cdot 0{,}8385 \approx 6{,}420\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}.
Interpretação: mantendo o peso fixo em 70\\ \mathrm{kg}, um aumento de 1\\ \mathrm{m} na altura aumenta a área superficial em cerca de 6{,}420\\ \mathrm{m}^2. Em termos mais práticos, um aumento de 1\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m} corresponderia a aproximadamente 0{,}0642\\ \mathrm{m}^2.

Passo 9

Comentário comparativo e interpretação final (sensibilidade relativa).
  • As derivadas parciais nos dão sensibilidade absoluta: \dfrac{\partial S}{\partial H} é numericamente muito maior que \dfrac{\partial S}{\partial W} porque a unidade de H (metro) é muito maior que a unidade de W (kg). Para comparar efeitos percentuais é melhor olhar para as elasticidades: como S\propto W^{0{,}4}H^{0{,}7}, a elasticidade de S em relação a W é 0{,}4 e em relação a H é 0{,}7. Isso significa: um aumento de 1\% em W aumenta S em 0{,}4\%, enquanto um aumento de 1\% em H aumenta S em 0{,}7\%. Assim, proporcionalmente (por porcentagem), H tem maior influência; mas no exemplo numérico concreto a variação efetiva do peso foi grande o suficiente para dominar o efeito líquido e tornar S_2>S_1.
Uma palavra final de incentivo: essas perguntas misturam cálculo direto, interpretação física e uso de derivadas. Se você entender a ideia de potências/fracionários, derivada do tipo x^n e o conceito de sensibilidade/elasticidade, já está bem preparado para esse tipo de questão — vamos que dá tempo de aprender!

Resposta

(a) S\approx 16{,}514\\ \mathrm{m}^2\n
(b) S\approx 16{,}806\\ \mathrm{m}^2\n
(c) A segunda pessoa tem maior área superficial; o aumento do peso W foi o que determinou o aumento líquido (peso aumentou mais do que a altura diminuiu).\n
(d) \displaystyle \frac{\partial S}{\partial W}=0{,}8\,W^{-0{,}6}H^{0{,}7}\approx 0{,}0943\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{kg}\n
\displaystyle \frac{\partial S}{\partial H}=1{,}4\,W^{0{,}4}H^{-0{,}3}\approx 6{,}420\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}

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