- Se
é a área superficial (
) do corpo humano, então a formula que dá um valor aproximado para
é:
Onde: H (em m) é a altura e W (em kg) é a massa.
a) Se uma pessoa tem
e
, determine sua área superficial.
b) Se outra pessoa tem
e
, calcule também a sua área superficial.
c) Quem tem maior área superficial, a primeira ou a segunda pessoa. O que determinou a maior área superficial, H ou W ?
d) Se
e
, achar
e
. Interpretar os resultados.
a) Se uma pessoa tem
b) Se outra pessoa tem
c) Quem tem maior área superficial, a primeira ou a segunda pessoa. O que determinou a maior área superficial, H ou W ?
d) Se
Passo 1
O enunciado dá a fórmula aproximada da área superficial
(em
) do corpo humano:
onde
(em
) é a massa e
(em
) é a altura. As perguntas são:
- (a) Calcular
para e . - (b) Calcular
para e . - (c) Comparar as duas áreas: qual é maior e o que (altura
ou peso ) determinou a maior área superficial? - (d) Para
e , achar e e interpretar os resultados.
Todas as informações relevantes do enunciado estão acima; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Como vamos precisar calcular potências com expoentes fracionários (
,
), explico uma forma prática e limpa para fazer isso com precisão: usar a identidade
onde
é o logaritmo natural. Isso transforma a potência em multiplicação e exponencial, o que facilita cálculos numéricos (com uma calculadora científica ou tabelas). Também é útil lembrar que
e
, mas tomar radicais (como raiz quinta) manualmente é mais trabalhoso; portanto, usaremos a identidade acima para avaliar as potências numericamente.
Vou mostrar passo a passo o cálculo para a primeira pessoa; o mesmo método vale para a segunda.
Passo 3
Calcular
para
e
.
- Calcular
:
Usando
temos
logo
- Calcular
:
Usando
temos
logo
- Agora
:
(Se você fizer com uma calculadora obterá número muito próximo.)
Passo 4
Calcular
para
e
.
-
. Como ,
logo
-
. Como ,
logo
- Agora
:
Passo 5
Comparação e análise do que determinou a maior área.
- Comparando os dois valores numéricos:
Portanto a segunda pessoa tem a área superficial ligeiramente maior.
- Para ver o que determinou a diferença podemos escrever a razão
Substituindo
e
,
Multiplicando:
, ou seja,
é cerca de
maior que
. Conclusão: o aumento do peso (
) elevou a área em cerca de
, enquanto a menor altura reduziu a área em cerca de
. O efeito líquido foi um pequeno aumento, portanto o que “venceu” foi o aumento de
.
Passo 6
Agora vamos derivar as derivadas parciais simbólicas e explicar o procedimento de forma didática.
Regra que usamos (regra do poder): se
com
constante, então
No contexto multivariável, ao derivar em relação a uma variável tratamos as outras como constantes. Aplicando isso a
temos duas derivadas parciais.
Passo 7
Calcular simbolicamente as parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Expliquei as regras: multiplicamos pelo expoente e subtraímos 1 do expoente da variável derivada; a outra variável fica como fator constante.
Passo 8
Avaliar numericamente as parciais em
e
.
Já calculamos
e
.
- Para
:
Podemos obter
usando
porque
. Assim
Logo
Interpretação: mantendo a altura fixa em
, um aumento de
no peso aumenta a área superficial em aproximadamente
.
- Para
:
Já temos
. Calcular
. Usando
,
logo
Portanto
Interpretação: mantendo o peso fixo em
, um aumento de
na altura aumenta a área superficial em cerca de
. Em termos mais práticos, um aumento de
corresponderia a aproximadamente
.
Passo 9
Comentário comparativo e interpretação final (sensibilidade relativa).
- As derivadas parciais nos dão sensibilidade absoluta:
é numericamente muito maior que porque a unidade de (metro) é muito maior que a unidade de (kg). Para comparar efeitos percentuais é melhor olhar para as elasticidades: como , a elasticidade de em relação a é e em relação a é . Isso significa: um aumento de em aumenta em , enquanto um aumento de em aumenta em . Assim, proporcionalmente (por porcentagem), tem maior influência; mas no exemplo numérico concreto a variação efetiva do peso foi grande o suficiente para dominar o efeito líquido e tornar .
Uma palavra final de incentivo: essas perguntas misturam cálculo direto, interpretação física e uso de derivadas. Se você entender a ideia de potências/fracionários, derivada do tipo
e o conceito de sensibilidade/elasticidade, já está bem preparado para esse tipo de questão — vamos que dá tempo de aprender!
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) A segunda pessoa tem maior área superficial; o aumento do peso foi o que determinou o aumento líquido (peso aumentou mais do que a altura diminuiu).\n
(d) \n
(b)
(c) A segunda pessoa tem maior área superficial; o aumento do peso
(d)