Calcule as derivadas parciais de 2^{a} ordem das funções abaixo:
z=\frac{3 x y}{x+2 y}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z=\frac{3xy}{x+2y},
e pede as derivadas parciais de segunda ordem, isto é:
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\qquad \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}.
As informações relevantes são a expressão de z em termos de x e y e que devemos aplicar diferenciação parcial em relação a x e y até a segunda ordem.

Passo 2

Para facilitar, escrevemos z como razão de duas funções:
u(x,y)=3xy,\qquad v(x,y)=x+2y,\qquad z=\frac{u}{v}.
Quando temos uma razão z=\dfrac{u}{v}, a derivada parcial de primeira ordem em relação a uma variável (por exemplo x) é dada pela regra do quociente:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2},
onde u_x é \partial u/\partial x e v_x é \partial v/\partial x. A mesma fórmula vale trocando x por y.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de u e v:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y,\qquad u_y=\frac{\partial}{\partial y}(3xy)=3x,
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=1,\qquad v_y=\frac{\partial}{\partial y}(x+2y)=2.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente para obter \partial z/\partial x:
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2} =\frac{(3y)(x+2y) - (3xy)(1)}{(x+2y)^2}.
Fazendo as contas no numerador:
(3y)(x+2y) - 3xy = 3xy + 6y^2 - 3xy = 6y^2.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{6y^2}{(x+2y)^2}.

Passo 5

Agora \partial z/\partial y pela regra do quociente:
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2} =\frac{(3x)(x+2y) - (3xy)(2)}{(x+2y)^2}.
Calculando o numerador:
(3x)(x+2y) - 6xy = 3x^2 + 6xy - 6xy = 3x^2.
Logo
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{3x^2}{(x+2y)^2}.

Passo 6

Para obter as derivadas de segunda ordem, diferenciamos as primeiras parciais. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia quando aparecerem potências de (x+2y). Uma fórmula útil: para w(t)=(t)^{-2} temos w'(t)=-2t^{-3}. Aqui t=x+2y e suas derivadas parciais são t_x=1 e t_y=2.

Passo 7

Cálculo de \partial^2 z/\partial x^2. Como \partial z/\partial x = 6y^2 (x+2y)^{-2} e y é constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} =6y^2\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big[(x+2y)^{-2}\big] =6y^2\cdot(-2)(x+2y)^{-3}\cdot 1.
Portanto
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=-12\frac{y^2}{(x+2y)^3}.

Passo 8

Cálculo de \partial^2 z/\partial x\partial y. Partimos de \partial z/\partial x = 6y^2 (x+2y)^{-2}. Derivando em relação a y usamos produto e cadeia:
\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} =\frac{\partial}{\partial y}\big(6y^2\big)\cdot (x+2y)^{-2} +6y^2\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big[(x+2y)^{-2}\big].
Calculando cada termo:
\frac{\partial}{\partial y}(6y^2)=12y,
\frac{\partial}{\partial y}\big[(x+2y)^{-2}\big]=-2(x+2y)^{-3}\cdot 2 = -4(x+2y)^{-3}.
Substituindo:
\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} =12y(x+2y)^{-2} + 6y^2\big(-4(x+2y)^{-3}\big).
Colocando em fator comum (x+2y)^{-3}:
= (x+2y)^{-3}\big(12y(x+2y) -24y^2\big) = (x+2y)^{-3}\big(12yx +24y^2 -24y^2\big) =12\frac{xy}{(x+2y)^3}.
Assim
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=12\frac{xy}{(x+2y)^3}.

Passo 9

Podemos checar a simetria das derivadas mistas (teorema de Schwarz) calculando \partial^2 z/\partial x\partial y a partir de \partial z/\partial y. Partindo de \partial z/\partial y=3x^2(x+2y)^{-2} e derivando em x obtém-se exatamente
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=12\frac{xy}{(x+2y)^3},
confirmando a igualdade \partial^2 z/\partial x\partial y=\partial^2 z/\partial y\partial x.

Passo 10

Cálculo de \partial^2 z/\partial y^2. A partir de \partial z/\partial y = 3x^2 (x+2y)^{-2} e diferenciando em y (com x constante):
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =3x^2\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big[(x+2y)^{-2}\big] =3x^2\cdot(-2)(x+2y)^{-3}\cdot 2.
Logo
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-12\frac{x^2}{(x+2y)^3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=-12\frac{y^2}{(x+2y)^3}
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=12\frac{xy}{(x+2y)^3}
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-12\frac{x^2}{(x+2y)^3}

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