Calcule as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede as derivadas parciais de segunda ordem, isto é:
As informações relevantes são a expressão de
em termos de
e
e que devemos aplicar diferenciação parcial em relação a
e
até a segunda ordem.
Passo 2
Para facilitar, escrevemos
como razão de duas funções:
Quando temos uma razão
, a derivada parcial de primeira ordem em relação a uma variável (por exemplo
) é dada pela regra do quociente:
onde
é
e
é
. A mesma fórmula vale trocando
por
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente para obter
:
Fazendo as contas no numerador:
Portanto
Passo 5
Agora
pela regra do quociente:
Calculando o numerador:
Logo
Passo 6
Para obter as derivadas de segunda ordem, diferenciamos as primeiras parciais. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia quando aparecerem potências de
. Uma fórmula útil: para
temos
. Aqui
e suas derivadas parciais são
e
.
Passo 7
Cálculo de
. Como
e
é constante ao derivar em relação a
,
Portanto
Passo 8
Cálculo de
. Partimos de
. Derivando em relação a
usamos produto e cadeia:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Colocando em fator comum
:
Assim
Passo 9
Podemos checar a simetria das derivadas mistas (teorema de Schwarz) calculando
a partir de
. Partindo de
e derivando em
obtém-se exatamente
confirmando a igualdade
.
Passo 10
Cálculo de
. A partir de
e diferenciando em
(com
constante):
Logo