Determine a curvatura de r no ponto dado em cada caso.
r(t)=\left\langle 1, t, t^{2}\right\rangle em (1,0,0)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \displaystyle r(t)=\langle 1,\;t,\;t^{2}\rangle e pede a curvatura de r no ponto (1,0,0). Informações relevantes que temos:
\displaystyle r(t)=\langle 1,\;t,\;t^{2}\rangle.
O ponto onde queremos a curvatura é (1,0,0).
A tarefa é encontrar o valor numérico da curvatura nesse ponto.

Passo 2

Primeiro precisamos achar qual valor do parâmetro t gera o ponto (1,0,0). Igualando coordenadas:
r(t)=(1,t,t^{2})=(1,0,0).
Comparando coordenadas obtemos t=0 e também t^{2}=0, o que confirma t=0. Logo vamos avaliar a curvatura em t=0.

Passo 3

Calcular as derivadas primeira e segunda de r(t). Derivamos componente a componente (derivada de constante é zero, de t é 1, de t^{2} é 2t):
r'(t)=\langle 0,\;1,\;2t\rangle, \qquad r''(t)=\langle 0,\;0,\;2\rangle.
Essas derivadas representam, respectivamente, o vetor velocidade e o vetor aceleração da curva.

Passo 4

Apresentar a fórmula que vamos usar para curvatura de uma curva no espaço. A curvatura \kappa(t) é dada por
\kappa(t)=\frac{\|\,r'(t)\times r''(t)\,\|}{\|r'(t)\|^{3}}.
Explicando: r'(t)\times r''(t) é o produto vetorial entre velocidade e aceleração; seu módulo mede “quanto” a direção está mudando. \|r'(t)\| é o comprimento do vetor velocidade. Dividimos pelo cubo de \|r'(t)\| para normalizar em relação à velocidade, ficando com a curvatura geométrica (independente da parametrização por velocidade).

Passo 5

Avaliar r'(t) e r''(t) em t=0:
r'(0)=\langle 0,\;1,\;0\rangle,\qquad r''(0)=\langle 0,\;0,\;2\rangle.
Calcular o produto vetorial r'(0)\times r''(0). Usando a fórmula componente a componente (ou o determinante):
r'(0)\times r''(0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \langle 1\cdot2-0\cdot0,\;-(0\cdot2-0\cdot0),\;0\cdot0-1\cdot0\rangle = \langle 2,\;0,\;0\rangle.
O módulo desse vetor é \|r'(0)\times r''(0)\|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+0^{2}}=2.]

Passo 6

Calcular \|r'(0)\| e aplicar a fórmula da curvatura. Temos
\|r'(0)\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}=1.
Agora aplicar
\kappa(0)=\frac{\|r'(0)\times r''(0)\|}{\|r'(0)\|^{3}}=\frac{2}{1^{3}}=2.

Resposta

\kappa=2

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