Determine a curvatura de r no ponto dado em cada caso. r(t)=\left\langle 1, t, t^{2}\right\rangle em (1,0,0)
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica \displaystyle r(t)=\langle 1,\;t,\;t^{2}\rangle e pede a curvatura de r no ponto (1,0,0). Informações relevantes que temos: \displaystyle r(t)=\langle 1,\;t,\;t^{2}\rangle.
O ponto onde queremos a curvatura é (1,0,0).
A tarefa é encontrar o valor numérico da curvatura nesse ponto.
Passo 2
Primeiro precisamos achar qual valor do parâmetro t gera o ponto (1,0,0). Igualando coordenadas:
r(t)=(1,t,t^{2})=(1,0,0).
Comparando coordenadas obtemos t=0 e também t^{2}=0, o que confirma t=0. Logo vamos avaliar a curvatura em t=0.
Passo 3
Calcular as derivadas primeira e segunda de r(t). Derivamos componente a componente (derivada de constante é zero, de t é 1, de t^{2} é 2t):
Explicando: r'(t)\times r''(t) é o produto vetorial entre velocidade e aceleração; seu módulo mede “quanto” a direção está mudando. \|r'(t)\| é o comprimento do vetor velocidade. Dividimos pelo cubo de \|r'(t)\| para normalizar em relação à velocidade, ficando com a curvatura geométrica (independente da parametrização por velocidade).