A área A da superfície lateral de um cone circular reto de abertura h e raio da base r é dada por:
A=\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}} .
Se r é mantido fixo em 30 centímetros, enquanto h varia, encontre a taxa de variação de A em relação a h no instante em que h=40 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá a área lateral do cone
A=\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}},
com r mantido fixo em 30\\ \text{cm} e h variando. A pergunta é: encontrar a taxa de variação \dfrac{dA}{dh} no instante em que h=40\\ \text{cm}.
Informações relevantes:
  • A=\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}.
  • r=30\\ \text{cm} (constante).
  • Valor pedido: \dfrac{dA}{dh} quando h=40\\ \text{cm}.

Passo 2

Vamos lembrar como derivar uma função que envolve uma raiz quadrada. Se u(h) é uma função de h, então
\frac{d}{dh}\big(\sqrt{u(h)}\big)=\frac{u'(h)}{2\sqrt{u(h)}}.
Isto é a regra da cadeia aplicada à função g(u)=\sqrt{u}: a derivada de g(u) é g'(u)=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}, e multiplica-se pelo derivado interno u'(h).
No nosso caso a parte sob a raiz é u(h)=h^{2}+r^{2}. Como r é constante,
u'(h)=\frac{d}{dh}\big(h^{2}+r^{2}\big)=2h.

Passo 3

Agora derivamos A em relação a h. Como \pi e r são constantes multiplicativas,
\frac{dA}{dh}=\pi r\cdot\frac{d}{dh}\!\left(\sqrt{h^{2}+r^{2}}\right).
Aplicando a fórmula do Passo 2,
\frac{dA}{dh}=\pi r\cdot\frac{2h}{2\sqrt{h^{2}+r^{2}}}.
Simplificando os 2,
\frac{dA}{dh}=\pi r\cdot\frac{h}{\sqrt{h^{2}+r^{2}}}.

Passo 4

Substituir r=30\\ \text{cm} e h=40\\ \text{cm}. Primeiro calcule a raiz:
h^{2}+r^{2}=40^{2}+30^{2}=1600+900=2500,
\sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{2500}=50.
Agora a expressão da derivada:
\frac{dA}{dh}\Big|_{h=40}=\pi\cdot 30\cdot\frac{40}{50}.
Calcule passo a passo:
\pi\cdot 30\cdot 40=\pi\cdot 1200,
\frac{\pi\cdot 1200}{50}=\pi\cdot 24=24\pi.
Unidade: A tem unidade \text{cm}^{2} e h tem unidade \text{cm}, logo \dfrac{dA}{dh} tem unidade \text{cm}^{2}/\text{cm}=\text{cm}.

Passo 5

Interpretação rápida: \dfrac{dA}{dh}=24\pi\\ \text{cm}>0 significa que, no instante h=40\\ \text{cm}, a área lateral do cone está aumentando com o aumento de h, a uma taxa de 24\pi\\ \text{cm} de área por centímetro de aumento em h.

Resposta

24\pi\\ \text{cm}

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