Calcule o limite das funções abaixo:
\lim \left(3 e^{\operatorname{sen}(4 x+5 y)}+\operatorname{tg}(x+y)\right)
(x, y) \rightarrow 10,0)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(10,0)}\left(3 e^{\operatorname{sen}(4x+5y)}+\operatorname{tg}(x+y)\right).
Informações dadas:
  • A função é a soma de duas parcelas: 3 e^{\operatorname{sen}(4x+5y)} e \operatorname{tg}(x+y).
  • O ponto de aproximação é (x,y)\to(10,0).
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Regra útil (fácil e poderosa): o limite da soma é a soma dos limites, desde que os limites das parcelas existam e sejam finitos. Ou seja, se
\lim_{(x,y)\to(10,0)} A(x,y)=L_A \qquad\text{e}\qquad \lim_{(x,y)\to(10,0)} B(x,y)=L_B,
então
\lim_{(x,y)\to(10,0)}\big(A(x,y)+B(x,y)\big)=L_A+L_B.
Vamos aplicar isso com A(x,y)=3 e^{\operatorname{sen}(4x+5y)} e B(x,y)=\operatorname{tg}(x+y).

Passo 3

Conceito usado (explicando bem): funções elementares como \sin e e^{(\cdot)} são contínuas em todo \mathbb{R}. A tangente \tan é contínua em todos os pontos onde está definida, isto é, em todos os t que não são t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi com k\in\mathbb{Z}. A composição de funções contínuas é contínua. Portanto, se o argumento de \tan no ponto limite não for um ponto de descontinuidade, podemos simplesmente substituir o ponto na expressão para obter o limite.

Passo 4

Verificação de domínio para \operatorname{tg}: no ponto em que aproximamos temos o argumento x+y. Avaliando em (10,0)
10 \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{para todo }k\in\mathbb{Z},
porque os valores \tfrac{\pi}{2}+k\pi são aproximadamente 1{,}571,\;4{,}712,\;7{,}854,\;10{,}996,\ldots e 10 não aparece nessa lista. Logo \tan está definida e é contínua em 10. Assim ambas as parcelas têm limite finito no ponto.

Passo 5

Calcule os argumentos no ponto:
4x+5y\Big|_{(10,0)}=4\cdot10+5\cdot0=40, \qquad x+y\Big|_{(10,0)}=10+0=10.
Pela continuidade das funções envolvidas, podemos substituir:
\lim_{(x,y)\to(10,0)}3 e^{\operatorname{sen}(4x+5y)}=3 e^{\operatorname{sen}(40)}
e
\lim_{(x,y)\to(10,0)}\operatorname{tg}(x+y)=\operatorname{tg}(10).

Passo 6

Somando as duas parcelas, o limite pedido é
3 e^{\operatorname{sen}(40)}+\operatorname{tg}(10).
Se quiser uma aproximação numérica rápida (ângulos em radianos): \operatorname{sen}(40)\approx0{,}743, e^{0{,}743}\approx2{,}1027, \operatorname{tg}(10)\approx0{,}648, então o valor aproximado é cerca de 6{,}96. Mas a forma exata mais limpa é a expressão acima.

Resposta

3 e^{\operatorname{sen}(40)}+\operatorname{tg}(10)

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