Calcule o limite das funções abaixo:
\lim (\operatorname{sen} 4 x-2 \cos 4 y-\cos z)
(x y, z) \rightarrow(x / 8, \pi / 2,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função
f(x,y,z)=\sin 4x - 2\cos 4y - \cos z
quando (x,y,z) tende para o ponto \left(\dfrac{\pi}{8},\dfrac{\pi}{2},0\right).
As informações relevantes são:
  • A função a avaliar é f(x,y,z)=\sin 4x - 2\cos 4y - \cos z.
  • O ponto de aproximação é \left(\dfrac{\pi}{8},\dfrac{\pi}{2},0\right).
  • A tarefa é encontrar
\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}\big(\sin 4x - 2\cos 4y - \cos z\big).

Passo 2

Relembrando propriedades de limites que vamos usar (pequena aula rápida e prática):
  • Se os limites individuais existem, o limite da soma é a soma dos limites. Em símbolos, se \lim f=\ell_f e \lim g=\ell_g então \lim(f+g)=\ell_f+\ell_g.
  • Uma constante pode ser puxada para fora do limite: \lim (c\cdot g)=c\cdot\lim g.
  • Funções contínuas podem ser avaliadas por substituição: se h é contínua em a então \lim_{t\to a} h(t)=h(a).
  • As funções trigonométricas \sin e \cos são contínuas em todo ponto real, logo podemos aplicar substituição direta sempre que o argumento tende a um valor finito.
Essas regras significam que, para nossa função, podemos separar o limite em termos mais simples e avaliar cada peça individualmente.

Passo 3

Aplicando as regras (soma e fator constante) podemos escrever
\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}\big(\sin 4x - 2\cos 4y - \cos z\big) = \lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}\sin 4x -2\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}\cos 4y -\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}\cos z.

Passo 4

Agora tratamos cada limite separado. Pela continuidade de \sin e por composição com a função contínua x\mapsto 4x, vale
\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}\sin 4x = \sin\!\left(\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}4x\right).
O limite interno é simplesmente a multiplicação do limite de x por 4:
\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}4x = 4\cdot\frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2}.
Portanto
\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}\sin 4x = \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right).

Passo 5

Analogamente para \cos 4y:
\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}\cos 4y = \cos\!\left(\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}4y\right) = \cos\!\left(4\cdot\frac{\pi}{2}\right) = \cos(2\pi).
E para \cos z:
\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}\cos z = \cos\!\left(\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)} z\right) = \cos 0.

Passo 6

Avaliação dos valores trigonométricos (lembrando o círculo trigonométrico):
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
  • \cos(2\pi)=1.
  • \cos 0 = 1.

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão do Passo 3:
\lim_{(x,y,z)\to\left(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{2},0\right)}\big(\sin 4x - 2\cos 4y - \cos z\big) = 1 - 2\cdot 1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2.

Resposta

-2

Exercícios relacionados