Calcule o limite das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite da função
quando
tende para o ponto
.
As informações relevantes são:
As informações relevantes são:
- A função a avaliar é
. - O ponto de aproximação é
. - A tarefa é encontrar
Passo 2
Relembrando propriedades de limites que vamos usar (pequena aula rápida e prática):
- Se os limites individuais existem, o limite da soma é a soma dos limites. Em símbolos, se
e então . - Uma constante pode ser puxada para fora do limite:
. - Funções contínuas podem ser avaliadas por substituição: se
é contínua em então . - As funções trigonométricas
e são contínuas em todo ponto real, logo podemos aplicar substituição direta sempre que o argumento tende a um valor finito.
Essas regras significam que, para nossa função, podemos separar o limite em termos mais simples e avaliar cada peça individualmente.
Passo 3
Aplicando as regras (soma e fator constante) podemos escrever
Passo 4
Agora tratamos cada limite separado. Pela continuidade de
e por composição com a função contínua
, vale
O limite interno é simplesmente a multiplicação do limite de
por
:
Portanto
Passo 5
Analogamente para
:
E para
:
Passo 6
Avaliação dos valores trigonométricos (lembrando o círculo trigonométrico):
-
. -
. -
.
Passo 7
Substituindo esses valores na expressão do Passo 3: