1. Uma área teve as suas dimensões lineares reduzidas em 4 vezes, sofreu uma redução de área em que proporção?

Passo 1

O enunciado nos diz que as dimensões lineares de uma área foram reduzidas em 4 vezes e pergunta: em que proporção a área foi reduzida?
Informações dadas:
  • Fator de redução linear: 4 vezes (ou seja, cada dimensão foi dividida por 4).
    O que se pede:
  • A proporção de redução da área (ou seja, quanto da área original foi perdida / qual fração da área original deixou de existir).

Passo 2

Definir variáveis para ficar claro. Seja L uma medida linear característica do objeto (por exemplo, comprimento ou qualquer dimensão linear). Após a redução:
L'=\frac{L}{4}.
Aqui L é a dimensão original e L' a dimensão após a redução.

Passo 3

Explicar por que a área muda com o quadrado do fator linear. Se uma figura tem dimensão linear L e outra figura semelhante tem dimensão linear kL, então todas as medidas lineares multiplicam por k. A área, sendo uma medida bidimensional (produto de duas dimensões lineares), multiplica por k^2. Formalmente, se a área original é A, a nova área A' obedece:
A' = k^2 A,
onde k é o fator de escala linear (razão entre a dimensão nova e a antiga). Isso vale para figuras semelhantes e, em geral, para qualquer situação em que todas as dimensões lineares sejam escaladas por k.

Passo 4

Aplicar ao nosso caso. O fator linear k é
k=\frac{L'}{L}=\frac{1}{4}.
Portanto a nova área será
A' = \left(\frac{1}{4}\right)^{2} A = \frac{1}{16}A.
Isso significa que a área passou a ser \tfrac{1}{16} da área original.

Passo 5

Calcular a redução (a parte da área que deixou de existir). A redução absoluta em proporção da área original é
\text{redução} = A - A' = A - \frac{1}{16}A = \frac{15}{16}A.çã
Em termos de proporção (fração da área original) a redução é \tfrac{15}{16}.

Passo 6

Converter para porcentagem para intuição. A fração \tfrac{15}{16} em porcentagem é
\frac{15}{16}=0,9375=93{,}75\%.
Ou seja, houve uma redução de 93{,}75\% da área original; a área final ficou com 6{,}25\% (porque 100\%-93{,}75\%=6{,}25\%, que corresponde a \tfrac{1}{16}).

Resposta

A nova área é \tfrac{1}{16} da original.
Redução da área: \tfrac{15}{16} da área original =93{,}75\%.

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