- Uma área teve as suas dimensões lineares reduzidas em 4 vezes, sofreu uma redução de área em que proporção?
Passo 1
O enunciado nos diz que as dimensões lineares de uma área foram reduzidas em 4 vezes e pergunta: em que proporção a área foi reduzida?
Informações dadas:
Informações dadas:
- Fator de redução linear:
vezes (ou seja, cada dimensão foi dividida por ).
O que se pede: - A proporção de redução da área (ou seja, quanto da área original foi perdida / qual fração da área original deixou de existir).
Passo 2
Definir variáveis para ficar claro. Seja
uma medida linear característica do objeto (por exemplo, comprimento ou qualquer dimensão linear). Após a redução:
Aqui
é a dimensão original e
a dimensão após a redução.
Passo 3
Explicar por que a área muda com o quadrado do fator linear. Se uma figura tem dimensão linear
e outra figura semelhante tem dimensão linear
, então todas as medidas lineares multiplicam por
. A área, sendo uma medida bidimensional (produto de duas dimensões lineares), multiplica por
. Formalmente, se a área original é
, a nova área
obedece:
onde
é o fator de escala linear (razão entre a dimensão nova e a antiga). Isso vale para figuras semelhantes e, em geral, para qualquer situação em que todas as dimensões lineares sejam escaladas por
.
Passo 4
Aplicar ao nosso caso. O fator linear
é
Portanto a nova área será
Isso significa que a área passou a ser
da área original.
Passo 5
Calcular a redução (a parte da área que deixou de existir). A redução absoluta em proporção da área original é
Em termos de proporção (fração da área original) a redução é
.
Passo 6
Converter para porcentagem para intuição. A fração
em porcentagem é
Ou seja, houve uma redução de
da área original; a área final ficou com
(porque
, que corresponde a
).
Resposta
A nova área é
da original.
Redução da área: da área original
.
Redução da área: