1. Em uma carta na escala 1: 1.000 .000, medimos uma estrada \operatorname{com} 3,0 \mathrm{~cm} de extensão. Ao ampliarmos essa carta 4 vezes, que escala encontraremos e qual será o valor da mesma distância?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei os dados diretamente do enunciado):
  • Escala original da carta: 1:1.000{.}000.
  • Comprimento medido na carta original: 3{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • A carta é ampliada por um fator 4 (quatro vezes).
    O enunciado pede:
  1. Qual será a nova escala depois da ampliação?
  2. Qual será o valor da mesma distância na carta ampliada?

Passo 2

Entender o que significa a escala e como usá-la (mini-aula):
  • Uma escala escrita como 1:N significa que 1 unidade no mapa corresponde a N unidades no terreno real. As unidades usadas no mapa e no terreno devem ser as mesmas para fazer a conta direta (por exemplo, centímetros).
  • Para encontrar a distância real correspondente a uma medida no mapa, multiplica-se a medida do mapa por N.
    Aplicando isso ao dado:
\text{distância real} = 3{,}0\\ \mathrm{cm}\times 1.000{.}000 = 3.000.000\\ \mathrm{cm}.â
Converter para unidades mais usuais:
3.000.000\\ \mathrm{cm} = \frac{3.000.000}{100}\\ \mathrm{m} = 30.000\\ \mathrm{m} = 30\\ \mathrm{km}.
Ou seja, a estrada tem 30\\ \mathrm{km} na realidade. (Isso é só para confirmar o que a medida na carta representa.)

Passo 3

Como a ampliação afeta medidas e escala (mini-aula):
  • Se a carta é ampliada por um fator k (aqui k=4), todos os comprimentos na carta ficam k vezes maiores. Logo a medida da estrada na carta ampliada será k vezes a medida original na carta.
  • Em termos de escala, antes tínhamos uma razão mapa:real = \dfrac{1}{N} com N=1.000{.}000. Depois da ampliação por k a razão mapa:real passa a ser k vezes maior, isto é
\frac{1}{N_{\text{novo}}}=k\cdot\frac{1}{N}\quad\Longrightarrow\quad N_{\text{novo}}=\frac{N}{k}.
Aplicando com N=1.000{.}000 e k=4:
N_{\text{novo}}=\frac{1.000{.}000}{4}=250{.}000.
Portanto a nova escala é 1:250{.}000.

Passo 4

Calcular diretamente a medida da estrada na carta ampliada (passo-a-passo):
  • Pelo raciocínio direto de ampliação de comprimentos:
\text{comprimento na carta nova} = 4\times 3{,}0\\ \mathrm{cm} = 12{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Verificação usando a nova escala: com escala 1:250{.}000, 1\\ \mathrm{cm} no mapa representa 250{.}000\\ \mathrm{cm} reais. Então
\text{comprimento real} = 12{,}0\\ \mathrm{cm}\times 250{.}000 = 3.000.000\\ \mathrm{cm},
que é o mesmo 3.000.000\\ \mathrm{cm} (ou 30\\ \mathrm{km}) que tínhamos antes — consistência confirmada.

Passo 5

Recapitulando de forma prática (como você pode fazer rápido na prova):
  • Multiplica a medida do mapa por 4 para obter a nova medida na folha ampliada.
  • Divide o denominador da escala original por 4 para obter a nova escala escrita como 1: algo.
    Isso dá: escala 1:250{.}000 e medida 12{,}0\\ \mathrm{cm} na carta ampliada.

Resposta

1:250{.}000
12{,}0\\ \mathrm{cm}

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