1. Ao se ampliar a área de uma planta em 25 vezes, quantas vezes estarão sendo ampliadas suas dimensões lineares?

Passo 1

O enunciado pede: “Ao se ampliar a área de uma planta em 25 vezes, quantas vezes estarão sendo ampliadas suas dimensões lineares?”
Informações dadas:
  • A área é ampliada por um fator de 25.
    Pressuposição necessária (normal em problemas de escala): a ampliação é geométrica uniforme — isto é, todas as dimensões lineares são multiplicadas pelo mesmo fator k. Não se resolveu ainda, apenas foi identificado o pedido e os dados.

Passo 2

Princípio de escala entre comprimento e área (explicação didática): se todas as dimensões lineares de uma figura são multiplicadas por um mesmo fator k, então cada comprimento cresce por k vezes. A área, que depende de dois comprimentos (por exemplo, base e altura de um retângulo), irá crescer pelo produto desses fatores. Para ver isso com contas:
  • Seja um retângulo com lados a e b. A área original é A = a\cdot b.
  • Se cada dimensão é multiplicada por k, os novos lados são ka e kb. A nova área é
A' = (ka)\cdot(kb) = k^2\,a b = k^2 A.
Portanto a regra geral: a área escala como o quadrado do fator linear; área nova = k^2 vezes a área original.

Passo 3

Aplicando ao problema: foi dito que a área é multiplicada por 25. Pela regra do passo anterior, isso significa que
k^2 = 25,
onde k é o fator de ampliação das dimensões lineares.

Passo 4

Resolver a equação para k:
k = \sqrt{25} = 5.
Escolhe-se a raiz positiva porque k representa um fator de comprimento (dimensões lineares são positivas), logo k=5.

Passo 5

Verificação numérica simples (exemplo concreto para fixar): uma planta quadrada de lado 2 tem área A=2\cdot2=4. Se os lados forem multiplicados por 5, o novo lado é 10 e a nova área é A'=10\cdot10=100. De fato A'/A=100/4=25, confirmando que fator linear 5 dá aumento de área de 25.

Resposta

5 vezes.

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