- Ao se ampliar a área de uma planta em 25 vezes, quantas vezes estarão sendo ampliadas suas dimensões lineares?
Passo 1
O enunciado pede: “Ao se ampliar a área de uma planta em 25 vezes, quantas vezes estarão sendo ampliadas suas dimensões lineares?”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A área é ampliada por um fator de
.
Pressuposição necessária (normal em problemas de escala): a ampliação é geométrica uniforme — isto é, todas as dimensões lineares são multiplicadas pelo mesmo fator. Não se resolveu ainda, apenas foi identificado o pedido e os dados.
Passo 2
Princípio de escala entre comprimento e área (explicação didática): se todas as dimensões lineares de uma figura são multiplicadas por um mesmo fator
, então cada comprimento cresce por
vezes. A área, que depende de dois comprimentos (por exemplo, base e altura de um retângulo), irá crescer pelo produto desses fatores. Para ver isso com contas:
- Seja um retângulo com lados
e . A área original é . - Se cada dimensão é multiplicada por
, os novos lados são e . A nova área é
Portanto a regra geral: a área escala como o quadrado do fator linear; área nova =
vezes a área original.
Passo 3
Aplicando ao problema: foi dito que a área é multiplicada por
. Pela regra do passo anterior, isso significa que
onde
é o fator de ampliação das dimensões lineares.
Passo 4
Resolver a equação para
:
Escolhe-se a raiz positiva porque
representa um fator de comprimento (dimensões lineares são positivas), logo
.
Passo 5
Verificação numérica simples (exemplo concreto para fixar): uma planta quadrada de lado
tem área
. Se os lados forem multiplicados por
, o novo lado é
e a nova área é
. De fato
, confirmando que fator linear
dá aumento de área de
.