Nas funções trigonométricas a seguir, determine o período, os valores de máximo e mínimo para estabelecer a imagem, e esboçe o gráfico: f(x)=2+\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)
e pede três coisas: (1) determinar o período da função; (2) determinar os valores máximo e mínimo para, a partir disso, estabelecer a imagem (conjunto-valor) da função; (3) esboçar o gráfico.
Informações relevantes fornecidas: a função é uma seno deslocada verticalmente por 2 e com argumento \frac{x}{2}. Não há deslocamento horizontal explícito nem multiplicador fora do seno além do +2.
Passo 2
Vamos lembrar a forma geral e as fórmulas úteis. Uma função sinusoidal geral pode ser escrita como
g(x)=D + A\operatorname{sen}(B x + C),
onde:
A é a amplitude (quanto a função oscila em torno da reta média);
B controla a frequência e o período;
C é o deslocamento de fase (horizontal);
D é o deslocamento vertical (reta média).
As fórmulas importantes:
\text{Amplitude} = |A|,
\text{Período}=\frac{2\pi}{|B|},
\text{Máximo} = D + |A|,
\text{Mínimo} = D - |A|.
Aqui cada variável representa: A amplitude (número real), B coeficiente multiplicando x dentro do seno, C deslocamento horizontal, D deslocamento vertical.
Passo 3
Identificamos os parâmetros comparando f(x)=2+\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right) com a forma geral:
A = 1 (coeficiente multiplicando o seno),
B = \frac{1}{2} (porque o argumento é \frac{x}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)x),
C = 0 (nenhum deslocamento horizontal),
D = 2 (deslocamento vertical).
Passo 4
Cálculo do período. Usando a fórmula \text{Período}=\dfrac{2\pi}{|B|} e B=\dfrac{1}{2}:
Logo a função completa uma oscilação a cada \;4\pi unidades no eixo x.
Passo 5
Cálculo da amplitude, máximo e mínimo. A amplitude é |A| = |1| = 1. Com D=2:
\text{Máximo} = D + |A| = 2 + 1 = 3,á
\text{Mínimo} = D - |A| = 2 - 1 = 1.í
Portanto a imagem (conjunto de valores) da função é o intervalo fechado
[1,\,3].
Passo 6
Encontre pontos-chave para esboçar uma período (vou construir um período entre x=0 e x=4\pi). Como f(x)=2+\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right), é útil achar x onde \frac{x}{2} é múltiplo de \frac{\pi}{2} (pontos importantes do seno).
Quando \frac{x}{2}=0 (ou seja x=0): \operatorname{sen}(0)=0 então f(0)=2. (ponto na reta média)
Quando \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2} (ou seja x=\pi): \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 então f(\pi)=3. (máximo)
Quando \frac{x}{2}=\pi (ou seja x=2\pi): \operatorname{sen}(\pi)=0 então f(2\pi)=2. (reta média novamente)
Quando \frac{x}{2}=\tfrac{3\pi}{2} (ou seja x=3\pi): \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1 então f(3\pi)=1. (mínimo)
Quando \frac{x}{2}=2\pi (ou seja x=4\pi): \operatorname{sen}(2\pi)=0 então f(4\pi)=2. (fim do período, volta ao valor da reta média)
e assim por diante. Esses pontos mostram o sinal e a curvatura correta entre os quartos de período.
Passo 8
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer na prova, sem calculadora):
Desenhe o eixo x e y. Marque a reta média y=2 com uma linha pontilhada horizontal.
A partir da reta média, marque para cima a altura da amplitude 1: y=3 (máximo) e para baixo y=1 (mínimo).
No eixo x marque os pontos 0,\;\pi,\;2\pi,\;3\pi,\;4\pi (um período ocupando o intervalo [0,4\pi]).
Plote os pontos-chave: (0,2),\;(\pi,3),\;(2\pi,2),\;(3\pi,1),\;(4\pi,2).
Plote também os pontos intermediários como \big(\tfrac{\pi}{2},\,2+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) e \big(\tfrac{3\pi}{2},\,2+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) etc., para guiar a forma curva.
Una os pontos com uma curva suave (forma de seno), subindo de (0,2) até (\pi,3), descendo até (2\pi,2), descendo mais até (3\pi,1) e subindo até (4\pi,2). Repita o padrão à esquerda e à direita para cobrir mais períodos se quiser.
Anote que cada repetição completa tem largura 4\pi.
Dica de prova: marcar a reta média e os valores máximo/mínimo primeiro deixa o esboço rápido e seguro. Se precisar de só um período, leve como referência [0,4\pi] ou qualquer intervalo de comprimento 4\pi.
Passo 9
Resumo final rápido (para decorar): amplitude 1, reta média y=2, período 4\pi, imagem [1,3]. Força aí — se quiser eu desenho em caracteres ou te passo coordenadas para dois períodos seguidos.
Resposta
Período: 4\pi
Máximo: 3; Mínimo: 1; Imagem: [1,3]
Esboço do gráfico: ponto-chave por período (0,2),\;(\pi,3),\;(2\pi,2),\;(3\pi,1),\;(4\pi,2); curva senoidal com reta média y=2, amplitude 1 e repetição a cada 4\pi.