A aresta lateral de um prisma reto mede 12 m ; a base é um triângulo retângulo de 150 \mathrm{~m}^{2} de área e cuja hipotenusa mede 25 m . Calcule a área total desse prisma.

Passo 1

O enunciado dá um prisma reto cuja aresta lateral (altura) mede \,12 e cuja base é um triângulo retângulo de área \,150 e hipotenusa \,25. O conteúdo é cálculo de área total de prisma:
– Área total = área lateral +2\cdot(área da base).
Para isso precisamos ( 1) achar os catetos do triângulo, ( 2) calcular o perímetro da base e ( 3) achar a área lateral.

Passo 2

Sejam a e b os catetos. Temos
\frac{ab}{2}=150 \quad\text{e}\quad a^2 + b^2 = 25^2 =625.
Da primeira equação vem ab=300. Soma em quadrado:
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 625 + 600 =1225
logo a+b=35. Os valores de a e b são raízes de
t^2 -35t +300 =0,
cuja solução positiva é \{15,20\}. Então os catetos medem \,15 e \,20.

Passo 3

O perímetro da base é
P = 15 + 20 + 25 = 60.

Passo 4

A área lateral de um prisma reto é dado por P_{\text{base}}\times\text{altura}. Aqui
A_{\text{lat}} = 60 \times 12 = 720.

Passo 5

A área total é
A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + 2\,A_{\text{base}} = 720 + 2\cdot150 = 720 + 300 = 1020.

Resposta

1020 \mathrm{m}^2

Exercícios relacionados