Prove que em um paralelepípedo retângulo a soma dos quadrados das quatro diagonais é igual à soma dos quadrados das doze arestas.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, num paralelepípedo retângulo de arestas com comprimentos a, b e c, a soma dos quadrados das quatro diagonais espaciais é igual à soma dos quadrados das doze arestas. O conteúdo central aqui é o Teorema de Pitágoras aplicado primeiro a uma face e depois ao espaço (3D).

Passo 2

Denotemos por D a diagonal espacial que vai de um vértice ao vértice oposto. Para encontrar o comprimento de D, usamos Pitágoras duas vezes. Primeiro, considere a diagonal de uma face de lados a e b; seu comprimento é
d_{ab} = \sqrt{a^2 + b^2}\,.
Em seguida, aplicamos Pitágoras novamente no triângulo retângulo formado por d_{ab}, a aresta de comprimento c e a diagonal espacial D, obtendo
D = \sqrt{d_{ab}^2 + c^2} = \sqrt{\bigl(a^2 + b^2\bigr) + c^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\,.

Passo 3

Como o paralelepípedo retângulo tem quatro diagonais espaciais iguais, a soma dos quadrados dessas diagonais é
4 \, D^2 = 4\,(a^2 + b^2 + c^2)\,.

Passo 4

Agora, as arestas aparecem em três grupos de quatro, cada grupo com comprimento a, b ou c. Logo, a soma dos quadrados das doze arestas é
4\,a^2 + 4\,b^2 + 4\,c^2 = 4\,(a^2 + b^2 + c^2)\,.

Passo 5

Compare as duas expressões: tanto a soma dos quadrados das quatro diagonais quanto a soma dos quadrados das doze arestas valem
4\,(a^2 + b^2 + c^2)\,.
Isso mostra que elas são iguais, como queríamos.

Resposta

Em um paralelepípedo retângulo de arestas a, b e c, temos
\sum_{\text{4 diagonais}}D^2 \;=\; 4\,(a^2 + b^2 + c^2) \quad\text{e}\quad \sum_{\text{12 arestas}}(\text{aresta})^2 \;=\; 4\,(a^2 + b^2 + c^2),
logo essas somas são iguais.

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