Prove que em um paralelepípedo retângulo a soma dos quadrados das quatro diagonais é igual à soma dos quadrados das doze arestas.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, num paralelepípedo retângulo de arestas com comprimentos
,
e
, a soma dos quadrados das quatro diagonais espaciais é igual à soma dos quadrados das doze arestas. O conteúdo central aqui é o Teorema de Pitágoras aplicado primeiro a uma face e depois ao espaço (3D).
Passo 2
Denotemos por
a diagonal espacial que vai de um vértice ao vértice oposto. Para encontrar o comprimento de
, usamos Pitágoras duas vezes. Primeiro, considere a diagonal de uma face de lados
e
; seu comprimento é
Em seguida, aplicamos Pitágoras novamente no triângulo retângulo formado por
, a aresta de comprimento
e a diagonal espacial
, obtendo
Passo 3
Como o paralelepípedo retângulo tem quatro diagonais espaciais iguais, a soma dos quadrados dessas diagonais é
Passo 4
Agora, as arestas aparecem em três grupos de quatro, cada grupo com comprimento
,
ou
. Logo, a soma dos quadrados das doze arestas é
Passo 5
Compare as duas expressões: tanto a soma dos quadrados das quatro diagonais quanto a soma dos quadrados das doze arestas valem
Isso mostra que elas são iguais, como queríamos.
Resposta
Em um paralelepípedo retângulo de arestas
,
e
, temos
logo essas somas são iguais.