As arestas de um paralelepípedo retângulo têm comprimentos
que variam com o tempo.
No instante considerado:
Determine a taxa de variação:
da área superficial
da caixa
da área superficial
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação da área superficial da caixa no instante dado. Informações fornecidas (estou listando tudo explicitamente):
Pergunta: encontrar
no instante indicado, onde
é a área superficial do paralelepípedo retângulo.
Passo 2
Primeiro precisamos da expressão da área superficial
de um paralelepípedo retângulo com arestas
. Cada par de faces iguais contribui duas vezes:
- faces com área
(duas delas), - faces com área
(duas delas), - faces com área
(duas delas).
Logo a fórmula é
Aqui
tem unidade
,
têm unidade
.
Passo 3
Agora vamos diferenciar
em relação ao tempo
. Usaremos a regra do produto para derivar cada produto como
. Aplicando a derivada em cada termo dentro do parêntese:
Aplicando a regra do produto a cada um:
Portanto
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos. Vou calcular cada parcela separadamente para não nos perder:
Passo 5
Somando as parcelas dentro do parêntese:
Multiplicando por
(o fator da fórmula de
):
A unidade resultante é
. Interpretação curta: no instante considerado as variações positivas e negativas das áreas das faces se cancelam exatamente, então a área superficial não muda naquele instante.