As arestas de um paralelepípedo retângulo têm comprimentos a, b, c que variam com o tempo.
No instante considerado:
\begin{gathered} a=1 \mathrm{~m}, \quad b=2 \mathrm{~m}, \quad c=3 \mathrm{~m} \\ \frac{d a}{d t}=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \quad \frac{d b}{d t}=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \quad \frac{d c}{d t}=-3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{gathered}
Determine a taxa de variação:
da área superficial S da caixa

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação da área superficial da caixa no instante dado. Informações fornecidas (estou listando tudo explicitamente):
a=1\\ \mathrm{m},\quad b=2\\ \mathrm{m},\quad c=3\\ \mathrm{m}
\frac{d a}{d t}=1\\ \mathrm{m/s},\quad \frac{d b}{d t}=1\\ \mathrm{m/s},\quad \frac{d c}{d t}=-3\\ \mathrm{m/s}
Pergunta: encontrar \dfrac{dS}{dt} no instante indicado, onde S é a área superficial do paralelepípedo retângulo.

Passo 2

Primeiro precisamos da expressão da área superficial S de um paralelepípedo retângulo com arestas a,b,c. Cada par de faces iguais contribui duas vezes:
  • faces com área ab (duas delas),
  • faces com área ac (duas delas),
  • faces com área bc (duas delas).
    Logo a fórmula é
S = 2(ab + ac + bc).
Aqui S tem unidade \mathrm{m}^2, a,b,c têm unidade \mathrm{m}.

Passo 3

Agora vamos diferenciar S em relação ao tempo t. Usaremos a regra do produto para derivar cada produto como \dfrac{d}{dt}(xy)=\dfrac{dx}{dt}y + x\dfrac{dy}{dt}. Aplicando a derivada em cada termo dentro do parêntese:
\frac{dS}{dt} = 2\left(\frac{d}{dt}(ab) + \frac{d}{dt}(ac) + \frac{d}{dt}(bc)\right).
Aplicando a regra do produto a cada um:
\frac{d}{dt}(ab)=\frac{da}{dt}\,b + a\,\frac{db}{dt},
\frac{d}{dt}(ac)=\frac{da}{dt}\,c + a\,\frac{dc}{dt},
\frac{d}{dt}(bc)=\frac{db}{dt}\,c + b\,\frac{dc}{dt}.
Portanto
\frac{dS}{dt} = 2\Big(\frac{da}{dt}\,b + a\,\frac{db}{dt} + \frac{da}{dt}\,c + a\,\frac{dc}{dt} + \frac{db}{dt}\,c + b\,\frac{dc}{dt}\Big).

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos fornecidos. Vou calcular cada parcela separadamente para não nos perder:
\frac{da}{dt}\,b = (1)\cdot(2)=2,
a\,\frac{db}{dt} = (1)\cdot(1)=1,
\frac{da}{dt}\,c = (1)\cdot(3)=3,
a\,\frac{dc}{dt} = (1)\cdot(-3)=-3,
\frac{db}{dt}\,c = (1)\cdot(3)=3,
b\,\frac{dc}{dt} = (2)\cdot(-3)=-6.

Passo 5

Somando as parcelas dentro do parêntese:
2 + 1 + 3 + (-3) + 3 + (-6) = 0.
Multiplicando por 2 (o fator da fórmula de S):
\frac{dS}{dt} = 2\cdot 0 = 0.
A unidade resultante é \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Interpretação curta: no instante considerado as variações positivas e negativas das áreas das faces se cancelam exatamente, então a área superficial não muda naquele instante.

Resposta

\displaystyle 0\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}

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