Ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto a e determine o raio de convergência. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (x+1) ; a=1
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar uma representação em série de potências de \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln(x+1) em torno do ponto a=1; (2) determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas: a função é \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln(x+1) e o centro da expansão é a=1. Não há outras informações externas ou figuras.
Passo 2
Vamos reescrever a função de forma a obter uma série conhecida. Faça a mudança de variável \;y=x-1\; (ou seja, x=1+y). Então
\ln(x+1)=\ln(1+y+1)=\ln(2+y).
Agora escrevemos \ln(2+y) como soma de \ln 2 com \ln de algo que possamos expandir:
\ln(2+y)=\ln 2 + \ln\!\left(1+\frac{y}{2}\right).
Aqui a ideia é expandir \ln(1+u) em série de potências em u, com u=\dfrac{y}{2}=\dfrac{x-1}{2}.
Passo 3
Vamos lembrar/derivar a série de \ln(1+u). Para |u|<1 a série geométrica é
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n.
Explicando: essa identidade vem da expansão de \dfrac{1}{1+u} como soma geométrica com razão -u. Agora integramos ambos os lados em u de 0 até u (a integração term a termo é válida para |u|<1), obtendo
Portanto o raio de convergência é R=2. Intuitivamente isso também bate com a distância do centro x=1 até a singularidade mais próxima da função \ln(x+1), que é em x=-1: a distância é |1-(-1)|=2.
Passo 6
Observações finais (úteis na prova): a série converge para todo x com |x-1|<2. Na fronteira, para x=3 temos u=1 e a série de \ln(1+u) converge condicionalmente (soma para \ln 2), de modo que a expansão dá \ln 4 quando x=3. Para x=-1 a função é singular (\ln 0 indefinido), então esse extremo não é admissível.