Ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto a e determine o raio de convergência.
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (x+1) ; a=1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar uma representação em série de potências de \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln(x+1) em torno do ponto a=1; (2) determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas: a função é \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln(x+1) e o centro da expansão é a=1. Não há outras informações externas ou figuras.

Passo 2

Vamos reescrever a função de forma a obter uma série conhecida. Faça a mudança de variável \;y=x-1\; (ou seja, x=1+y). Então
\ln(x+1)=\ln(1+y+1)=\ln(2+y).
Agora escrevemos \ln(2+y) como soma de \ln 2 com \ln de algo que possamos expandir:
\ln(2+y)=\ln 2 + \ln\!\left(1+\frac{y}{2}\right).
Aqui a ideia é expandir \ln(1+u) em série de potências em u, com u=\dfrac{y}{2}=\dfrac{x-1}{2}.

Passo 3

Vamos lembrar/derivar a série de \ln(1+u). Para |u|<1 a série geométrica é
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n.
Explicando: essa identidade vem da expansão de \dfrac{1}{1+u} como soma geométrica com razão -u. Agora integramos ambos os lados em u de 0 até u (a integração term a termo é válida para |u|<1), obtendo
\int_{0}^{u}\frac{1}{1+t}\,dt=\int_{0}^{u}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^n\,dt.
O lado esquerdo é \ln(1+u). O lado direito integra termo a termo:
\ln(1+u)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{u^{\,n+1}}{n+1}.
Reindexando com n\mapsto n-1 (ou escrevendo explicitamente a forma padrão) obtemos a forma usual:
\ln(1+u)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{u^{n}}{n},\qquad\text{válido para }|u|<1.á
Aqui u é a variável da expansão e n é o índice da soma; cada termo é (-1)^{n+1}u^n/n.

Passo 4

Agora voltamos à nossa substituição u=\dfrac{x-1}{2}. Substituindo na série de \ln(1+u) e somando \ln 2 temos
\ln(x+1)=\ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{1}{n}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}.
Essa é uma série em potências de (x-1) centrada em a=1. Para ficar explícito, podemos escrever de forma expandida os primeiros termos:
\ln(x+1)=\ln 2 + \frac{x-1}{2} - \frac{(x-1)^2}{2\cdot 2^2} + \frac{(x-1)^3}{3\cdot 2^3} - \cdots.

Passo 5

Agora determinamos o raio de convergência. A série para \ln(1+u) exige |u|<1. Como u=\dfrac{x-1}{2}, essa condição vira
\left|\frac{x-1}{2}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1|<2.
Portanto o raio de convergência é R=2. Intuitivamente isso também bate com a distância do centro x=1 até a singularidade mais próxima da função \ln(x+1), que é em x=-1: a distância é |1-(-1)|=2.

Passo 6

Observações finais (úteis na prova): a série converge para todo x com |x-1|<2. Na fronteira, para x=3 temos u=1 e a série de \ln(1+u) converge condicionalmente (soma para \ln 2), de modo que a expansão dá \ln 4 quando x=3. Para x=-1 a função é singular ( \ln 0 indefinido), então esse extremo não é admissível.

Resposta

\displaystyle \ln(x+1)=\ln 2+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x-1)^{n}}{n\,2^{n}}
R=2

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