Nos exercícios abaixo, faça o seguinte: (a) ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função f^{\prime} e ache seu raio de convergência; (c) ache o domínio de f^{\prime}.
a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}
b) \sum_{n=1}^{\infty}(n+1)(3 x-1)^{n}

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumido, item por item):
a) Série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}.
  • (a) Achar o raio de convergência e o domínio de f (onde a série converge).
  • (b) Escrever a série de potências que define f' e achar o raio de convergência de f'.
  • (c) Achar o domínio de f' (conjunto de x onde a série de f' converge).
b) Série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)(3x-1)^{n}.
  • (a) Achar o raio de convergência e o domínio de f.
  • (b) Escrever a série de potências que define f' e achar o raio de convergência de f'.
  • (c) Achar o domínio de f'.

Passo 2

Conceito importante antes de começar: o raio de convergência R de uma série de potências \sum a_n (x-x_0)^n pode ser encontrado pela fórmula
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Se \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=0 então R=+\infty; se for +\infty então R=0. Diferenciação termo a termo preserva o raio de convergência (ou seja, a série derivada tem o mesmo R), embora a convergência nos extremos possa mudar (pode perder ou ganhar convergência condicional).

Passo 3

Resolvendo (a) — passo a passo para a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}.
  1. Identificação dos coeficientes: aqui a série é do tipo \sum a_n x^n com a_n=\dfrac{1}{n^{2}}.
  2. Cálculo do raio por raiz:
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}\right)^{1/n}=\lim_{n\to\infty} n^{-2/n}.
Observe que \ln(n^{-2/n}) = -\frac{2\ln n}{n}\to 0 quando n\to\infty, logo n^{-2/n}\to e^{0}=1. Portanto
\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1,
e pelo fórmula do raio
R=\frac{1}{1}=1.
Isto significa que a série converge para |x|<1 e diverge para |x|>1; os casos |x|=1 precisam de análise à parte.
  1. Domínio de f (teste dos extremos):
  • Para x=1: a série vira \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}, que é uma série p-com p=2>1, portanto converge (absolutamente).
  • Para x=-1: a série vira \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}}. Como \sum 1/n^{2} converge, esta também converge absolutamente.
    Assim, a série converge para todos x com |x|\le 1. Portanto o domínio de f é o intervalo fechado
[-1,1].

Passo 4

Derivando a série de (a) e analisando f'.
  1. Derivação termo a termo (válida dentro do raio de convergência): a derivada de \dfrac{x^{n}}{n^{2}} é \dfrac{n x^{n-1}}{n^{2}}=\dfrac{x^{n-1}}{n}. Logo uma expressão conveniente é
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}.
Podemos reindexar para começar em m=0 (com m=n-1):
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m+1}.
  1. Raio de convergência de f': pela propriedade geral, a diferenciação preserva o raio, portanto o raio continua sendo R=1. Se quiser, confirmamos pela raiz:
    coeficientes para a série em potências de x são b_m=\dfrac{1}{m+1} e \limsup b_m^{1/m}=1 novamente, então R=1.
  2. Domínio de f' (análise dos extremos):
  • Para x=1: f'(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1^{n-1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que é a série harmônica e diverge. Logo x=1 não pertence ao domínio de f'.
  • Para x=-1: f'(-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}, que é a série harmônica alternada; por critério de Leibniz converge (condicionalmente) para \ln 2. Logo x=-1 pertence ao domínio de f'.
    Portanto o domínio de f' é o intervalo
[-1,1).

Passo 5

Resolvendo (b) — passo a passo para \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)(3x-1)^{n}.
  1. Identificação do centro e variável da série: aqui a série é em potências de 3x-1. Podemos definir t=3x-1. Em termos de t a série é \sum_{n=1}^{\infty} (n+1) t^{n}. O centro em x é x_0=\dfrac{1}{3} porque t=3(x-\tfrac{1}{3}).
  2. Raio em termos de t: os coeficientes em t são a_n=n+1. Calcule
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=\lim_{n\to\infty} (n+1)^{1/n}=1,
pois (n+1)^{1/n}\to 1. Então o raio em variável t é R_t=\dfrac{1}{1}=1, ou seja a série converge para |t|<1.
  1. Converter para x: como t=3x-1=3(x-\tfrac{1}{3}), a condição |t|<1 equivale a
|3(x-\tfrac{1}{3})|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-\tfrac{1}{3}|<\tfrac{1}{3}.
Assim o raio em x é R_x=\tfrac{1}{3} e o intervalo central é \big(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}\big)=(0,\tfrac{2}{3}).
  1. Teste dos extremos para o domínio de f:
  • Em x=\tfrac{2}{3} temos 3x-1=1. A série vira \sum_{n=1}^{\infty} (n+1), cujos termos não tendem a zero (na verdade somam-se infinitamente e divergem), portanto diverge.
  • Em x=0 temos 3x-1=-1. A série vira \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)(-1)^{n}. O termo geral não tende a zero em módulo (é (n+1)), logo a série diverge também.
    Portanto o domínio de f é o intervalo aberto
\big(0,\tfrac{2}{3}\big).

Passo 6

Derivando a série de (b) e analisando f'.
  1. Abordagem direta via t: defina g(t)=\sum_{n=1}^{\infty} (n+1)t^{n} com t=3x-1. Então
g'(t)=\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) t^{n-1}.
Como f(x)=g(3x-1), pela regra da cadeia
f'(x)=g'(3x-1)\cdot \frac{d}{dx}(3x-1)=3\,g'(3x-1).
Logo
f'(x)=3\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\,(3x-1)^{\,n-1}.
  1. Raio de convergência de f': a diferenciação (em t ou em x) preserva o raio em t, ou seja R_t=1; em x isso corresponde a R_x=\tfrac{1}{3}. Portanto o raio de convergência da série que define f' também é \dfrac{1}{3}.
  2. Domínio de f' (testando extremos):
  • Em x=\tfrac{2}{3} (ou seja t=1), a série torna-se 3\sum n(n+1), cujos termos crescem sem limite e, em particular, não tendem a zero: divergência.
  • Em x=0 (ou seja t=-1), a série torna-se 3\sum n(n+1)(-1)^{n-1}. Novamente os termos têm módulo n(n+1) que não tende a zero, então diverge.
    Portanto o domínio de f' é o mesmo que o de f neste caso, ou seja
\big(0,\tfrac{2}{3}\big).

Resposta

a) Raio de convergência R=1. Domínio de f: [-1,1].
a) Série de f': \displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m+1}. Raio de convergência de f': R=1. Domínio de f': [-1,1).
b) Raio de convergência em x: R=\tfrac{1}{3}. Domínio de f: \big(0,\tfrac{2}{3}\big).
b) Série de f': \displaystyle f'(x)=3\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\,(3x-1)^{\,n-1}. Raio de convergência de f': R=\tfrac{1}{3}. Domínio de f': \big(0,\tfrac{2}{3}\big).

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