Nos exercícios abaixo, faça o seguinte: (a) ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função
e ache seu raio de convergência; (c) ache o domínio de
.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Enunciado e o que se pede (resumido, item por item):
a) Série
.
- (a) Achar o raio de convergência e o domínio de
(onde a série converge). - (b) Escrever a série de potências que define
e achar o raio de convergência de . - (c) Achar o domínio de
(conjunto de onde a série de converge).
b) Série
.
- (a) Achar o raio de convergência e o domínio de
. - (b) Escrever a série de potências que define
e achar o raio de convergência de . - (c) Achar o domínio de
.
Passo 2
Conceito importante antes de começar: o raio de convergência
de uma série de potências
pode ser encontrado pela fórmula
Se
então
; se for
então
. Diferenciação termo a termo preserva o raio de convergência (ou seja, a série derivada tem o mesmo
), embora a convergência nos extremos possa mudar (pode perder ou ganhar convergência condicional).
Passo 3
Resolvendo (a) — passo a passo para a série
.
-
Identificação dos coeficientes: aqui a série é do tipo
com . -
Cálculo do raio por raiz:
Observe que
quando
, logo
. Portanto
e pelo fórmula do raio
Isto significa que a série converge para
e diverge para
; os casos
precisam de análise à parte.
- Domínio de
(teste dos extremos):
- Para
: a série vira , que é uma série -com , portanto converge (absolutamente). - Para
: a série vira . Como converge, esta também converge absolutamente.
Assim, a série converge para todoscom . Portanto o domínio de é o intervalo fechado
Passo 4
Derivando a série de (a) e analisando
.
- Derivação termo a termo (válida dentro do raio de convergência): a derivada de
é . Logo uma expressão conveniente é
Podemos reindexar para começar em
(com
):
-
Raio de convergência de
: pela propriedade geral, a diferenciação preserva o raio, portanto o raio continua sendo . Se quiser, confirmamos pela raiz:
coeficientes para a série em potências desão e novamente, então . -
Domínio de
(análise dos extremos):
- Para
: , que é a série harmônica e diverge. Logo não pertence ao domínio de . - Para
: , que é a série harmônica alternada; por critério de Leibniz converge (condicionalmente) para . Logo pertence ao domínio de .
Portanto o domínio deé o intervalo
Passo 5
Resolvendo (b) — passo a passo para
.
-
Identificação do centro e variável da série: aqui a série é em potências de
. Podemos definir . Em termos de a série é . O centro em é porque . -
Raio em termos de
: os coeficientes em são . Calcule
pois
. Então o raio em variável
é
, ou seja a série converge para
.
- Converter para
: como , a condição equivale a
Assim o raio em
é
e o intervalo central é
.
- Teste dos extremos para o domínio de
:
- Em
temos . A série vira , cujos termos não tendem a zero (na verdade somam-se infinitamente e divergem), portanto diverge. - Em
temos . A série vira . O termo geral não tende a zero em módulo (é ), logo a série diverge também.
Portanto o domínio deé o intervalo aberto
Passo 6
Derivando a série de (b) e analisando
.
- Abordagem direta via
: defina com . Então
Como
, pela regra da cadeia
Logo
-
Raio de convergência de
: a diferenciação (em ou em ) preserva o raio em , ou seja ; em isso corresponde a . Portanto o raio de convergência da série que define também é . -
Domínio de
(testando extremos):
- Em
(ou seja ), a série torna-se , cujos termos crescem sem limite e, em particular, não tendem a zero: divergência. - Em
(ou seja ), a série torna-se . Novamente os termos têm módulo que não tende a zero, então diverge.
Portanto o domínio deé o mesmo que o de neste caso, ou seja
Resposta
a) Raio de convergência
. Domínio de
:
.
a) Série de :
. Raio de convergência de
:
. Domínio de
:
.
a) Série de
b) Raio de convergência em
:
. Domínio de
:
.
b) Série de :
. Raio de convergência de
:
. Domínio de
:
.
b) Série de