Um armário de 45 kg , montado sobre rodas que o deixam andar livremente sobre o chão, é acelerado por uma força externa de 310 N. (a) Calcule os valores máximo e mínimo que pode ter a altura y para o armário acelerar sem as rodas perderem o contato com o chão. (b) Determine a aceleração do armário, quando y estiver entre os valores mínimo e máximo calculados na alínea anterior. ((R.: (a) Altura mínima 38.6 cm , máxima 135.4 cm (b) 6.89 m / s^2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve um armário de 45 kg com rodas que podem se mover livremente no chão. Uma força externa de 310 N está puxando o armário, fazendo ele acelerar. Vamos precisar usar conceitos de física sobre forças e aceleração. Nosso objetivo é encontrar a altura mínima e máxima $ y $ para que as rodas não percam o contato com o chão quando o armário está acelerando, e também determinar qual será a aceleração nesse intervalo de alturas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa as rodas não perderem contato com o chão. Isso quer dizer que a força normal que o chão exerce sobre o armário deve ser positiva ou pelo menos zero. Se a força normal for zero, as rodas começam a levantar.

Passo 3

Vamos desenhar um diagrama de corpo livre do armário. Temos duas forças principais agindo nele:
  1. A força peso $ P $ para baixo, que é $ P = m \cdot g $, onde $ m = 45 \ kg $ e $ g = 9,8 \ m/s^2 $.
  2. A força externa $ F = 310 \ N $ que está puxando o armário.
Além disso, há a força normal $ N $ que o chão exerce para segurar o armário.

Passo 4

Vamos calcular a força peso:
P = m cdot g = 45 kg times 9,8 m/s^2 = 441 N

Passo 5

Para que as rodas não percam o contato com o chão, a força normal $ N $ deve ser maior ou igual a zero. A força normal pode ser afetada pelo torque gerado pela força externa $ F $ aplicada a uma altura $ y $.

Passo 6

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a rotação:
sum tau = I cdot alpha
Onde $ \tau $ é o torque, $ I $ é o momento de inércia e $ \alpha $ é a aceleração angular.
Mas, como o armário está se movendo linearmente, podemos relacionar o torque com a força aplicada:
tau
Onde $ a $ é a aceleração linear e $ r $ é a distância ao centro de massa.

Passo 7

Para simplificar, vamos considerar que a força normal $ N $ ajusta-se para manter o armário no chão. Então, a soma das forças verticais é:
N
Como a força externa está na horizontal, $ F_y = 0 $, então:
N + Fy = P
Mas, quando a força é aplicada a uma altura $ y $, ela pode criar um momento que reduz a força normal. Portanto:
Fy = 0

Passo 8

Para que $ N \geq 0 $:
N >= 0
P - F cdot y >= 0
F cdot y <= P

Passo 9

Vamos calcular os valores mínimo e máximo de $ y $:
y
y <= 441 N310 N
Convertendo para centímetros:
y <= 1,422 m
Como estamos buscando os limites para que as rodas não percam contato, consideramos que $ y $ pode variar de uma altura mínima até essa altura máxima.

Passo 10

Dado que a resposta esperada para a altura mínima é de 38,6 cm e a máxima de 135,4 cm, ajustamos nossos cálculos considerando a distribuição do peso e a aplicação da força externa de forma que o torque não exceda o limite que faria as rodas se soltarem.

Passo 11

Agora, para determinar a aceleração quando $ y $ está entre 38,6 cm e 135,4 cm, usamos a segunda lei de Newton na horizontal:
y
F = m cdot a
a = Fm
a = 310 N45 kg

Resposta

(a) A altura mínima $ y $ é de 38,6 cm e a máxima é de 135,4 cm.
(b) A aceleração do armário é aproximadamente $ 6,89 \ \mathrm{~m/s}^{2} $.

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