Um armário tem três gavetas com os seguintes conteúdos: Gaveta 1 contem 7 medalhas de ouro; Gaveta 2 contem 3 medalhas de ouro e 4 de prata; Gaveta 3 contem 8 medalhas de prata. Uma gaveta é escolhida ao acaso e dela é retirada aleatoriamente uma medalha. Se a medalha é de ouro, qual a probabilidade de que todas as medalhas da gaveta escolhida sejam de ouro?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Há três gavetas:
    • Gaveta 1: contém 7 medalhas de ouro (nenhuma prata).
    • Gaveta 2: contém 3 medalhas de ouro e 4 de prata (total 7).
    • Gaveta 3: contém 8 medalhas de prata (nenhuma ouro).
  • Uma gaveta é escolhida ao acaso (cada gaveta tem probabilidade igual de ser escolhida).
  • De dentro da gaveta escolhida, é retirada aleatoriamente uma medalha.
  • Foi observada que a medalha retirada é de ouro.
O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de que todas as medalhas da gaveta escolhida sejam de ouro, dado que a medalha retirada é de ouro.
  • Em outras palavras, queremos a probabilidade de que a gaveta escolhida tenha somente medalhas de ouro (isto é, que seja a Gaveta 1) condicionada ao fato de que a medalha retirada é ouro.

Passo 2

Vamos definir eventos e a fórmula que vamos usar (explicação passo a passo do conceito).
  • Definições de eventos:
    • A_1: a gaveta escolhida é a Gaveta 1.
    • A_2: a gaveta escolhida é a Gaveta 2.
    • A_3: a gaveta escolhida é a Gaveta 3.
    • G: a medalha retirada é de ouro.
O que queremos é P(A_1\mid G): a probabilidade de A_1 acontecer dado que G ocorreu.
A ferramenta correta é a Fórmula de Bayes, que relaciona probabilidades condicionais. A forma útil aqui é:
P(A_1\mid G)=\frac{P(G\mid A_1)\,P(A_1)}{P(G)}.
Explicando cada termo:
  • P(A_1) é a probabilidade de escolher a Gaveta 1 antes de observar a medalha (a priori).
  • P(G\mid A_1) é a probabilidade de tirar uma medalha de ouro se sabemos que a Gaveta 1 foi escolhida.
  • P(G) é a probabilidade total de tirar uma medalha de ouro (sem saber qual gaveta foi escolhida) — usaremos a regra da probabilidade total para calcular isso.

Passo 3

Calcular as probabilidades individuais que entram na fórmula.
  • Como a gaveta é escolhida ao acaso entre três, todas têm probabilidade igual: P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3}.
  • Probabilidade de tirar ouro dado cada gaveta:
    • Se a Gaveta 1 foi escolhida, todas as suas 7 medalhas são ouro, então P(G\mid A_1)=1.
    • Se a Gaveta 2 foi escolhida, há 3 ouos entre 3+4=7 medalhas, então P(G\mid A_2)=\frac{3}{7}.
    • Se a Gaveta 3 foi escolhida, não há ouro, logo P(G\mid A_3)=0.

Passo 4

Calcular P(G) pela regra da probabilidade total:
P(G)=\sum_{i=1}^{3} P(A_i)\,P(G\mid A_i).
Substituindo os valores encontrados:
P(G)=\frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{7} + \frac{1}{3}\cdot 0 = \frac{1}{3}\left(1+\frac{3}{7}\right) = \frac{1}{3}\cdot \frac{10}{7} = \frac{10}{21}.

Passo 5

Aplicar Bayes para obter P(A_1\mid G):
P(A_1\mid G)=\frac{P(G\mid A_1)\,P(A_1)}{P(G)} = \frac{1\cdot \tfrac{1}{3}}{\tfrac{10}{21}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{10}{21}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{21}{10} = \frac{7}{10}.

Passo 6

Interpretação e checagem intuitiva (jeito alternativo de ver sem fórmula abstrata).
  • Pense nas “fontes” de medalhas de ouro: se escolher a Gaveta 1, a probabilidade de tirar ouro é \tfrac{1}{3} (porque P(A_1)=\tfrac{1}{3} e dado A_1 sempre sai ouro). Se escolher a Gaveta 2, a probabilidade de ouro é \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{7}=\tfrac{1}{7}. Assim a contribuição de ouro proveniente da Gaveta 1 é \tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{21} e da Gaveta 2 é \tfrac{1}{7}=\tfrac{3}{21}. Das maneiras possíveis de obter ouro, 7 partes vêm da Gaveta 1 e 3 partes vêm da Gaveta 2, total 10 partes. A fração vindas da Gaveta 1 é 7/10. Isso confirma o resultado.
  • Em palavras: mesmo que a Gaveta 2 tenha alguns ouros, a Gaveta 1 é a fonte mais provável quando se observa ouro, porque nela toda medalha é ouro.
Força aí — deu para ver passo a passo como usar Bayes e checar com uma intuição de contagem.

Resposta

\dfrac{7}{10}

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