Um armário tem três gavetas com os seguintes conteúdos: Gaveta 1 contem 7 medalhas de ouro; Gaveta 2 contem 3 medalhas de ouro e 4 de prata; Gaveta 3 contem 8 medalhas de prata. Uma gaveta é escolhida ao acaso e dela é retirada aleatoriamente uma medalha. Se a medalha é de ouro, qual a probabilidade de que todas as medalhas da gaveta escolhida sejam de ouro?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Há três gavetas:
- Gaveta 1: contém
medalhas de ouro (nenhuma prata). - Gaveta 2: contém
medalhas de ouro e de prata (total ). - Gaveta 3: contém
medalhas de prata (nenhuma ouro).
- Gaveta 1: contém
- Uma gaveta é escolhida ao acaso (cada gaveta tem probabilidade igual de ser escolhida).
- De dentro da gaveta escolhida, é retirada aleatoriamente uma medalha.
- Foi observada que a medalha retirada é de ouro.
O que o problema pede:
- Calcular a probabilidade de que todas as medalhas da gaveta escolhida sejam de ouro, dado que a medalha retirada é de ouro.
- Em outras palavras, queremos a probabilidade de que a gaveta escolhida tenha somente medalhas de ouro (isto é, que seja a Gaveta 1) condicionada ao fato de que a medalha retirada é ouro.
Passo 2
Vamos definir eventos e a fórmula que vamos usar (explicação passo a passo do conceito).
- Definições de eventos:
-
: a gaveta escolhida é a Gaveta 1. -
: a gaveta escolhida é a Gaveta 2. -
: a gaveta escolhida é a Gaveta 3. -
: a medalha retirada é de ouro.
-
O que queremos é
: a probabilidade de
acontecer dado que
ocorreu.
A ferramenta correta é a Fórmula de Bayes, que relaciona probabilidades condicionais. A forma útil aqui é:
Explicando cada termo:
-
é a probabilidade de escolher a Gaveta 1 antes de observar a medalha (a priori). -
é a probabilidade de tirar uma medalha de ouro se sabemos que a Gaveta 1 foi escolhida. -
é a probabilidade total de tirar uma medalha de ouro (sem saber qual gaveta foi escolhida) — usaremos a regra da probabilidade total para calcular isso.
Passo 3
Calcular as probabilidades individuais que entram na fórmula.
- Como a gaveta é escolhida ao acaso entre três, todas têm probabilidade igual:
- Probabilidade de tirar ouro dado cada gaveta:
- Se a Gaveta 1 foi escolhida, todas as suas
medalhas são ouro, então - Se a Gaveta 2 foi escolhida, há
ouos entre medalhas, então - Se a Gaveta 3 foi escolhida, não há ouro, logo
- Se a Gaveta 1 foi escolhida, todas as suas
Passo 4
Calcular
pela regra da probabilidade total:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 5
Aplicar Bayes para obter
:
Passo 6
Interpretação e checagem intuitiva (jeito alternativo de ver sem fórmula abstrata).
- Pense nas “fontes” de medalhas de ouro: se escolher a Gaveta 1, a probabilidade de tirar ouro é
(porque e dado sempre sai ouro). Se escolher a Gaveta 2, a probabilidade de ouro é . Assim a contribuição de ouro proveniente da Gaveta 1 é e da Gaveta 2 é . Das maneiras possíveis de obter ouro, partes vêm da Gaveta 1 e partes vêm da Gaveta 2, total partes. A fração vindas da Gaveta 1 é . Isso confirma o resultado. - Em palavras: mesmo que a Gaveta 2 tenha alguns ouros, a Gaveta 1 é a fonte mais provável quando se observa ouro, porque nela toda medalha é ouro.
Força aí — deu para ver passo a passo como usar Bayes e checar com uma intuição de contagem.