São colocadas
bolinhas numeradas em uma urna. Aleatoriamente é extraída uma bolinha e o seu número é anotado. O processo é repetido até que na
-ésima vez uma bolinha repetida é obtida. Determine os possíveis valores de
e a fórmula que expressa a probabilidade de cada um deles (em função de
e de
).
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais informações estão dadas.
- Há
bolinhas numeradas numa urna. - Extrai-se aleatoriamente uma bolinha, anota-se o número, e repete-se a extração várias vezes. Para que haja possibilidade de obter uma bolinha já vista em extrações subsequentes, assume-se que a cada extração a bolinha volta para a urna (amostragem com reposição).
- Define-se
como o índice da extração em que aparece, pela primeira vez, um número que já tinha sido anotado em alguma extração anterior. Ou seja: a primeira repetição ocorre exatamente na -ésima extração. - O que se pede:
- Determinar os possíveis valores de
. - Dar uma fórmula para a probabilidade de cada um desses valores, em função de
e de .
- Determinar os possíveis valores de
Passo 2
Definição precisa do evento e estratégia de contagem.
- Seja
a v.a. que representa o instante da primeira repetição (o pedido). - O evento
significa duas coisas simultâneas: - Nas primeiras
extrações não houve repetição: todos os números obtidos em 1,2,\dots, são distintos. - Na
-ésima extração obtém-se um número que coincide com algum dos números já vistos.
- Nas primeiras
- Como as extrações são independentes e uniformes sobre as
bolinhas, vamos calcular probabilidades condicionais passo a passo (probabilidade de cada extração ser nova, dado que as anteriores foram todas distintas) e depois multiplicar.
Passo 3
Probabilidade das primeiras
extrações serem todas distintas (sem repetição).
- Na 1ª extração não há restrição, então a probabilidade é
. - Dada a 1ª extração, para a 2ª ser distinta da 1ª a probabilidade é
(existem números distintos restantes entre possibilidades). - Dadas 2 extrações distintas, para a 3ª ser nova a probabilidade é
. - Em geral, para que as primeiras
extrações sejam todas distintas, multiplicam-se as probabilidades condicionais: Aqui o produto começa em de modo que o fator para a 1ª extração é , para a 2ª é , etc., e o número de fatores é . Outra forma de escrever este produto é o fatorial decrescente (fatorial com queda, “falling factorial”): onde denota .
Passo 4
Probabilidade de que a
-ésima extração seja a primeira repetição, condicionada em que as primeiras
foram distintas.
- Se as primeiras
extrações foram todas distintas, então exatamente dos números já foram vistos. - Portanto a probabilidade de que a
-ésima extração repita um desses é (há resultados “ruins” entre equiprováveis).
Passo 5
Combinar as duas partes para obter
.
- Pela regra do produto (probabilidade de intersecção de eventos encadeados), a probabilidade de que as primeiras
sejam distintas e a -ésima seja repetida é o produto das quantidades dos Passos 3 e 4: - Em forma compacta usando o falling factorial:
Passo 6
Determinar os valores possíveis de
e comentários finais simples.
- O menor
possível é (a primeira repetição só pode ocorrer a partir da segunda extração). - Pelo princípio da casa dos pombos (pigeonhole), se fizermos
extrações obrigatoriamente haverá repetição; logo a primeira repetição ocorre no máximo em . - Portanto os valores possíveis são
- Observações rápidas de verificação:
- Para
a fórmula dá , que é a probabilidade da segunda extração coincidir com a primeira (faz sentido). - Para
a fórmula dá onde e o fator cancela um dos no denominador, ficando de forma equivalente ao produto das probabilidades de as primeiras serem distintas; o valor coincide com , o que é a probabilidade de que nas primeiras extrações não haja repetição (então a primeira repetição só pode ocorrer na -ésima).
- Para
- As probabilidades para
formam uma distribuição de probabilidade (partem-se os resultados possíveis e cobrem todo o espaço amostral).
Resposta
onde
.