Um dado está viciado da seguinte forma: a probabilidade de sair a face " 2 " é igual a 0.08 e as demais faces tem probabilidades que são proporcionais ao respectivo número de pontos nessa face. (Por exemplo, a face " 6 " é 2 vezes mais provável do que a face " 3 "). Qual é a probabilidade de sair um número par em um lançamento?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado diz que a probabilidade da face “2” é \,0,08.
  • As demais faces têm probabilidades proporcionais ao número de pontos da face. Isso significa que, para cada face i (exceto a face 2), existe uma constante de proporcionalidade c tal que a probabilidade da face i é c\cdot i.
  • As faces possíveis são 1,2,3,4,5,6.
  • O que se pede: a probabilidade de sair um número par em um lançamento, ou seja, P(\text{par}) = P(2)+P(4)+P(6).

Passo 2

Transformar a frase “probabilidades proporcionais ao número de pontos” em matemática.
  • Definir c como a constante de proporcionalidade para as faces diferentes de 2.
  • Para i\in\{1,3,4,5,6\} vale P(i)=c\cdot i.
  • Para a face 2 temos P(2)=0,08 (dado do enunciado), que não precisa coincidir com c\cdot 2 — o enunciado separou o caso da face 2.
Explicando de leve: "proporcional a i" significa que se uma face tem o dobro de pontos, então sua probabilidade é o dobro da de uma face com metade dos pontos, tudo multiplicado por c.

Passo 3

Usar que as probabilidades somam 1 para achar c.
A soma de todas as probabilidades é
P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=1.
Substituindo P(2)=0,08 e P(i)=c\cdot i para os demais:
0,08 + c\,(1+3+4+5+6)=1.
Calcular a soma dos índices:
1+3+4+5+6=19.
Então
0,08 + 19c = 1.
Isolando c:
19c = 1-0,08 = 0,92,
c = \frac{0,92}{19}.
Converter para fração exata para ficar limpo:
0,92=\frac{92}{100}=\frac{23}{25},
portanto
c=\frac{23}{25\cdot 19}=\frac{23}{475}.

Passo 4

Calcular as probabilidades das faces pares 4 e 6 usando c, e escrever P(2) como fração compatível.
  • P(4)=c\cdot 4 = 4\cdot\frac{23}{475}=\frac{92}{475}.
  • P(6)=c\cdot 6 = 6\cdot\frac{23}{475}=\frac{138}{475}.
  • Escrever P(2)=0,08 como fração com denominador 475: 0,08=\frac{8}{100}=\frac{2}{25}=\frac{38}{475}.

Passo 5

Somar as probabilidades dos números pares.
P(\text{par}) = P(2)+P(4)+P(6)=\frac{38}{475}+\frac{92}{475}+\frac{138}{475}.
Somando numeradores:
\frac{38+92+138}{475}=\frac{268}{475}.
A fração \frac{268}{475} já é a expressão exata da probabilidade.

Passo 6

Dar uma aproximação decimal (útil na prova se precisar de número).
\frac{268}{475}\approx 0,5642105263\ldots
Arredondando para quatro casas decimais:
P(\text{par})\approx 0,5642.

Resposta

\dfrac{268}{475}
\approx 0,5642

Exercícios relacionados