Um armazém de estocagem de produtos recebe e envia produtos diariamente. O armazém possui limite para 50000 produtos e diariamente recebe 2450 produtos e envia 1980 produtos. Sempre que o armazém alcança 90 \% da lotação máxima no fim do dia, 40 \% do seu estoque atual é enviado para outro armazém. Supondo que o armazém comece com 1500 produtos no início do primeiro dia, escreva um programa que calcule quantos dias levará para que o armazém alcance 90 \% da lotação máxima pela quinta vez.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Capacidade máxima do armazém: \;50000 produtos.
  • Limite de 90\% da lotação máxima: \;T = 0,9\cdot 50000 = 45000 produtos.
  • Recebe por dia: \;2450 produtos.
  • Envia por dia (rotina normal): \;1980 produtos.
  • Sempre que, no fim de um dia, o estoque alcança pelo menos 90\% da lotação ( \ge 45000), então 40\% do estoque atual é enviado para outro armazém nesse momento (ou seja, sobra 60\% do estoque).
  • Estoque inicial no início do primeiro dia: \;1500 produtos.
  • Pergunta: quantos dias levará até que o armazém alcance 90\% da lotação máxima pela quinta vez?

Passo 2

Entender a dinâmica diária e escrever as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Variação líquida por dia (recebidos menos enviados):
    \Delta = 2450 - 1980 = 470.
    Isso significa que, enquanto não houver o envio extra de 40\%, o estoque cresce \;470 produtos por dia.
  • Se o estoque no início de uma sequência é S e S<T, o número mínimo de dias inteiros necessários para que, ao fim de um dia, o estoque atinja pelo menos T é
    n=\left\lceil \dfrac{T - S}{\Delta}\right\rceil,
    onde \lceil x\rceil é a função teto (arredonda para cima), porque os dias são inteiros. Explicação: após n dias o estoque será S + n\Delta; queremos o menor n tal que S+n\Delta \ge T.
  • Quando numa noite o estoque atinge T (ou mais), aplica-se o envio de 40\%. Se o estoque naquele momento é S_T, o estoque imediatamente após esse envio passa a ser
    S_{\text{após}} = 0,6\cdot S_T,ó
    porque se envia 40\% sobra 60\%.
Estratégia prática: simular ciclo a ciclo. Em cada ciclo:
  1. Calcular n com a fórmula acima.
  2. Calcular S_T = S + n\Delta.
  3. Contar esse evento (atingiu 90\%).
  4. Atualizar S \leftarrow 0,6\cdot S_T e repetir até ter contado 5 eventos.
    No final, somar os dias de cada ciclo para obter o dia terminal.

Passo 3

Ciclo 1 — partir de S_0=1500.
  • Calcular n_1:
    n_1=\left\lceil \dfrac{45000-1500}{470}\right\rceil = \left\lceil \dfrac{43500}{470}\right\rceil \approx \left\lceil 92,553\ldots\right\rceil = 93.
    Explicação: são necessários 93 dias para o estoque atingir pelo menos 45000.
  • Estoque no fim do dia em que atinge 90\%:
    S_{T1} = 1500 + 93\cdot 470 = 1500 + 43710 = 45210.
  • Aplicando o envio de 40\%:
    S_{1} = 0,6\cdot S_{T1} = 0,6\cdot 45210 = 27126.
Até aqui: ocorreu a 1ª vez ao fim do dia 93. Estoque recomeça o ciclo com S_1=27126.

Passo 4

Ciclo 2 — partir de S_1=27126.
  • Calcular n_2:
    n_2=\left\lceil \dfrac{45000-27126}{470}\right\rceil = \left\lceil \dfrac{17874}{470}\right\rceil \approx \left\lceil 38,0213\ldots\right\rceil = 39.
  • Estoque no fim do dia que atinge 90\%:
    S_{T2} = 27126 + 39\cdot 470 = 27126 + 18330 = 45456.
  • Após envio de 40\%:
    S_{2} = 0,6\cdot 45456 = 27273,6.
Agora: ocorreu a 2ª vez ao fim do dia 93+39=132. Estoque inicial do próximo ciclo S_2=27273,6.

Passo 5

Ciclo 3 — partir de S_2=27273,6.
  • Calcular n_3:
    n_3=\left\lceil \dfrac{45000-27273,6}{470}\right\rceil = \left\lceil \dfrac{17726,4}{470}\right\rceil \approx \left\lceil 37,7238\ldots\right\rceil = 38.
  • Estoque no fim do dia que atinge 90\%:
    S_{T3} = 27273,6 + 38\cdot 470 = 27273,6 + 17860 = 45133,6.
  • Após envio de 40\%:
    S_{3} = 0,6\cdot 45133,6 = 27080,16.
Agora: ocorreu a 3ª vez ao fim do dia 132+38=170. Estoque inicial do próximo ciclo S_3=27080,16.

Passo 6

Ciclo 4 — partir de S_3=27080,16.
  • Calcular n_4:
    n_4=\left\lceil \dfrac{45000-27080,16}{470}\right\rceil = \left\lceil \dfrac{17919,84}{470}\right\rceil \approx \left\lceil 38,1275\ldots\right\rceil = 39.
  • Estoque no fim do dia que atinge 90\%:
    S_{T4} = 27080,16 + 39\cdot 470 = 27080,16 + 18330 = 45410,16.
  • Após envio de 40\%:
    S_{4} = 0,6\cdot 45410,16 = 27246,096.
Agora: ocorreu a 4ª vez ao fim do dia 170+39=209. Estoque inicial do próximo ciclo S_4=27246,096.

Passo 7

Ciclo 5 — partir de S_4=27246,096.
  • Calcular n_5:
    n_5=\left\lceil \dfrac{45000-27246,096}{470}\right\rceil = \left\lceil \dfrac{17753,904}{470}\right\rceil \approx \left\lceil 37,774\ldots\right\rceil = 38.
  • Estoque no fim do dia que atinge 90\%:
    S_{T5} = 27246,096 + 38\cdot 470 = 27246,096 + 17860 = 45106,096.
Esse é o 5º evento (atingir 90\%) no fim do dia do quinto ciclo.

Passo 8

Somar os dias dos cinco ciclos para saber em que dia (contando a partir do início) ocorreu a 5ª vez:
\text{Dias totais} = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 = 93 + 39 + 38 + 39 + 38 = 247.
Interpretação final rápida e encorajamento: deu trabalho, mas o padrão se repetiu em ciclos — crescer 470 por dia até 45000, daí enviar 40\% e recomeçar. Ao somar os dias de cada ciclo chegamos a 247 dias para a quinta vez.

Resposta

247 dias

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