Um aro de 140 kg rola ao longo de um piso horizontal de modo que o centro de massa do aro tem uma velocidade de
. Calcule o trabalho que deve ser realizado sobre o aro para pará-lo. É Dado que o momento de inércia de um aro é MR^2.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: temos um aro de 140 kg rolando em um piso horizontal com a velocidade do centro de massa de 0,150 m/s. Queremos calcular o trabalho que precisamos fazer para parar esse aro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética de translação e de rotação, além do momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um objeto que está rolando tem dois tipos de energia cinética: uma pela movimentação do seu centro de massa (energia cinética de translação) e outra pela rotação em torno desse centro de massa (energia cinética de rotação).
Passo 3
A energia cinética de translação () é calculada pela fórmula:
onde
é a massa do aro e
é a velocidade do centro de massa.
Passo 4
A energia cinética de rotação (
) é dada por:
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 5
Sabemos que para um aro, o momento de inércia (
) é:
Além disso, como o aro está rolando sem deslizar, a velocidade angular (
) está relacionada à velocidade linear (
) pela relação:
Passo 6
Substituindo
na fórmula da energia cinética de rotação, temos:
Passo 7
Assim, a energia cinética total (
) do aro é a soma das energias de translação e rotação:
Passo 8
O trabalho (
) necessário para parar o aro é igual à energia cinética total que precisa ser removida:
Passo 9
Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
Resposta
O trabalho necessário para parar o aro é de 3,15 J.