Um aro de 140 kg rola ao longo de um piso horizontal de modo que o centro de massa do aro tem uma velocidade de 0,150 m / s. Calcule o trabalho que deve ser realizado sobre o aro para pará-lo. É Dado que o momento de inércia de um aro é MR^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: temos um aro de 140 kg rolando em um piso horizontal com a velocidade do centro de massa de 0,150 m/s. Queremos calcular o trabalho que precisamos fazer para parar esse aro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética de translação e de rotação, além do momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um objeto que está rolando tem dois tipos de energia cinética: uma pela movimentação do seu centro de massa (energia cinética de translação) e outra pela rotação em torno desse centro de massa (energia cinética de rotação).

Passo 3

A energia cinética de translação () é calculada pela fórmula:
Etrans
onde Etrans = 12 M v^2 é a massa do aro e M é a velocidade do centro de massa.

Passo 4

A energia cinética de rotação ( Erot) é dada por:
Erot = 12 I omega^2
onde I é o momento de inércia e omega é a velocidade angular.

Passo 5

Sabemos que para um aro, o momento de inércia ( I) é:
I = M R^2
Além disso, como o aro está rolando sem deslizar, a velocidade angular ( omega) está relacionada à velocidade linear ( v) pela relação:
v = omega R Rightarrow omega = vR

Passo 6

Substituindo omega = vR na fórmula da energia cinética de rotação, temos:
Erot = 12 (M R^2) ( vR )^2 = 12 M v^2

Passo 7

Assim, a energia cinética total ( Etotal) do aro é a soma das energias de translação e rotação:
Etotal = Etrans + Erot = 12 M v^2 + 12 M v^2 = M v^2

Passo 8

O trabalho ( W) necessário para parar o aro é igual à energia cinética total que precisa ser removida:
W = Etotal = M v^2

Passo 9

Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
W = 140, kg times (0,150, m/s)^2 = 140 times 0,0225 = 3,15, J

Resposta

O trabalho necessário para parar o aro é de 3,15 J.

Exercícios relacionados