Na equação x=C 2 C o s(C 1 t), a distância x está em metros e o tempo t está em segundos. Quais são as unidades e dimensões (em termos de dimensões fundamentais L, T, M) das constantes C1 e C2?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ x = C_2 \cos(C_1 t) $, onde $ x $ é a distância em metros (m) e $ t $ é o tempo em segundos (s). Nosso objetivo aqui é descobrir quais são as unidades e as dimensões das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $. Para isso, vamos usar a análise dimensional, que ajuda a entender como as diferentes grandezas se relacionam em termos de suas unidades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o argumento da função cosseno: $ C_1 t $. A função trigonométrica $ \cos $ só pode receber um número sem dimensão, ou seja, o que está dentro do $ \cos $ precisa ser adimensional. Isso significa que o produto $ C_1 t $ não pode ter nenhuma unidade associada a ele.

Passo 3

Como $ C_1 t $ é adimensional e sabemos que $ t $ está em segundos (s), podemos determinar a unidade de $ C_1 $. Para que o produto $ C_1 \times t $ seja sem dimensão, $ C_1 $ precisa ter unidades que, ao serem multiplicadas por segundos, cancelem essa unidade. Então, a unidade de $ C_1 $ é $ s^{-1} $ (por segundo).

Passo 4

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da equação, que é $ x $. Já que $ x $ está em metros e o cosseno é adimensional, $ C_2 $ precisa ter a mesma unidade que $ x $ para que toda a equação faça sentido em termos de unidades. Portanto, $ C_2 $ está em metros (m).

Resposta

A constante $ C_1 $ tem unidade $ s^{-1} $ e dimensão $ T^{-1} $, enquanto a constante $ C_2 $ tem unidade em metros (m) e dimensão $ L $.

Exercícios relacionados