Q9. Um aro circular, de raio R=0,50 \mathrm{~m} e massa M=0,8 \mathrm{~kg}, rola sem escorregar a uma velocidade escalar de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sobre uma superfície plana, na direção de um plano inclinado de 30^{\circ} com a superfície. Admitindo que ele suba o plano sem escorregar, calcule a distância sobre o plano o aro percorrerá. \mathbf{R}: d=81,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

Liste clara do que o enunciado dá e do que pede:
  • Raio do aro: R=0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Massa do aro: M=0{,}8\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade escalar inicial sobre a superfície plana: v_0=20\\ \mathrm{m/s}.
  • O aro rola sem escorregar e vai subir um plano inclinado com ângulo \theta=30^\circ.
  • Suposições implícitas (do enunciado): não há dissipação de energia por atrito ou outras perdas além da conversão entre energia cinética e potencial; o aro mantém rolamento sem escorregar durante toda a subida.
  • Pergunta: calcular a distância d ao longo do plano que o aro percorrerá até parar.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (apresentação das fórmulas, sem resolver ainda):
  • Conservação da energia mecânica: a energia cinética inicial total do aro será transformada na energia potencial gravitacional quando ele parar no ponto mais alto da subida.
  • Energia cinética total do corpo que rola sem escorregar é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação: K_{\text{total}}=K_{\text{tras}}+K_{\text{rot}}.
  • Fórmulas que usamos (explicando cada variável):
    • Energia cinética de translação: K_{\text{tras}}=\frac{1}{2}M v^{2}, onde M é a massa e v é a velocidade do centro de massa.
    • Energia cinética de rotação: K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}I\omega^{2}, onde I é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação e \omega é a velocidade angular.
    • Condição de rolamento sem escorregar: \omega=\dfrac{v}{R}, onde R é o raio.
    • Momento de inércia do aro fino (caso de aro circular fino): I=M R^{2}.
    • Energia potencial gravitacional ao subir uma altura h: U=M g h, onde g é a aceleração da gravidade (usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 3

Expressar K_{\text{rot}} em termos de v substituindo I e \omega:
  • Substituindo I=M R^{2} e \omega=v/R em K_{\text{rot}}=\dfrac{1}{2}I\omega^{2} temos K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}\,(M R^{2})\left(\frac{v}{R}\right)^{2}.
  • Simplificando a expressão (mostrar passo a passo): K_{\text{rot}}=\frac{1}{2} M R^{2} \cdot \frac{v^{2}}{R^{2}}=\frac{1}{2}M v^{2}.
  • Observação didática: para um aro fino o termo R^{2} cancela, então a energia rotacional fica numericamente igual à energia translacional (para a mesma v).

Passo 4

Calcular a energia cinética total inicial usando as fórmulas:
  • Soma das duas energias: K_{\text{total}}=K_{\text{tras}}+K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}M v^{2}+\frac{1}{2}M v^{2}.
  • Somando os termos iguais: K_{\text{total}}=M v^{2}.
  • Comentário: isso mostra que, para o aro fino, a energia mecânica inicial é o dobro da energia puramente translacional \tfrac{1}{2}Mv^{2}; a rotação “guarda” metade da energia.

Passo 5

Avaliar numericamente K_{\text{total}}:
  • Substituindo M=0{,}8\\ \mathrm{kg} e v=20\\ \mathrm{m/s}: K_{\text{total}}=M v^{2}=0{,}8\cdot(20)^{2}=0{,}8\cdot400=320\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Usar conservação de energia para achar a altura máxima h:
  • Energia cinética inicial se transforma em energia potencial máxima: K_{\text{total}}=M g h.
  • Resolver para h: h=\frac{K_{\text{total}}}{M g}=\frac{M v^{2}}{M g}=\frac{v^{2}}{g}.
  • Observação importante: a massa M e o raio R cancelaram — a altura máxima depende apenas de v e g neste caso.
  • Substituindo numericamente com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}: h=\frac{(20)^{2}}{9{,}81}=\frac{400}{9{,}81}\approx40{,}78\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Relacionar a altura h com a distância d ao longo do plano inclinado e calcular d:
  • Geometricamente, a subida ao longo do plano de ângulo \theta tem relação h=d\sin\theta.
  • Isolando d: d=\frac{h}{\sin\theta}.
  • Substituindo h=\dfrac{v^{2}}{g} e \theta=30^\circ (onde \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}): d=\frac{v^{2}/g}{\sin30^\circ}=\frac{v^{2}}{g}\cdot\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=\frac{2v^{2}}{g}.
  • Agora o cálculo numérico com v=20\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}: d=\frac{2\cdot(20)^{2}}{9{,}81}=\frac{800}{9{,}81}\approx81{,}55\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando conforme a resposta esperada: d\approx81{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Verificação rápida e comentários finais (didático e encorajador):
  • Verificamos unidades: \dfrac{\mathrm{m^{2}/s^{2}}}{\mathrm{m/s^{2}}}=\mathrm{m}, consistente.
  • Observação física: o resultado não depende de M nem de R porque, para o aro fino, a fração da energia que vai para rotação é fixa; tudo que importa é a velocidade inicial v e a gravidade g.
  • Bom trabalho! Mesmo parecendo muita conta, o raciocínio se resume a escrever corretamente as energias, usar \omega=v/R e conservar energia — aí a aritmética fica tranquila.

Resposta

d=81{,}5\\ \mathrm{m}

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