Q9. Um aro circular, de raio
e massa
, rola sem escorregar a uma velocidade escalar de
, sobre uma superfície plana, na direção de um plano inclinado de
com a superfície. Admitindo que ele suba o plano sem escorregar, calcule a distância sobre o plano o aro percorrerá.
.
Passo 1
Liste clara do que o enunciado dá e do que pede:
- Raio do aro:
. - Massa do aro:
. - Velocidade escalar inicial sobre a superfície plana:
. - O aro rola sem escorregar e vai subir um plano inclinado com ângulo
. - Suposições implícitas (do enunciado): não há dissipação de energia por atrito ou outras perdas além da conversão entre energia cinética e potencial; o aro mantém rolamento sem escorregar durante toda a subida.
- Pergunta: calcular a distância
ao longo do plano que o aro percorrerá até parar.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (apresentação das fórmulas, sem resolver ainda):
- Conservação da energia mecânica: a energia cinética inicial total do aro será transformada na energia potencial gravitacional quando ele parar no ponto mais alto da subida.
- Energia cinética total do corpo que rola sem escorregar é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
- Fórmulas que usamos (explicando cada variável):
- Energia cinética de translação:
onde é a massa e é a velocidade do centro de massa. - Energia cinética de rotação:
onde é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação e é a velocidade angular. - Condição de rolamento sem escorregar:
, onde é o raio. - Momento de inércia do aro fino (caso de aro circular fino):
- Energia potencial gravitacional ao subir uma altura
: onde é a aceleração da gravidade (usar ).
- Energia cinética de translação:
Passo 3
Expressar
em termos de
substituindo
e
:
- Substituindo
e em temos - Simplificando a expressão (mostrar passo a passo):
- Observação didática: para um aro fino o termo
cancela, então a energia rotacional fica numericamente igual à energia translacional (para a mesma ).
Passo 4
Calcular a energia cinética total inicial usando as fórmulas:
- Soma das duas energias:
- Somando os termos iguais:
- Comentário: isso mostra que, para o aro fino, a energia mecânica inicial é o dobro da energia puramente translacional
; a rotação “guarda” metade da energia.
Passo 5
Avaliar numericamente
:
- Substituindo
e :
Passo 6
Usar conservação de energia para achar a altura máxima
:
- Energia cinética inicial se transforma em energia potencial máxima:
- Resolver para
: - Observação importante: a massa
e o raio cancelaram — a altura máxima depende apenas de e neste caso. - Substituindo numericamente com
:
Passo 7
Relacionar a altura
com a distância
ao longo do plano inclinado e calcular
:
- Geometricamente, a subida ao longo do plano de ângulo
tem relação - Isolando
: - Substituindo
e (onde ): - Agora o cálculo numérico com
e : - Arredondando conforme a resposta esperada:
.
Passo 8
Verificação rápida e comentários finais (didático e encorajador):
- Verificamos unidades:
, consistente. - Observação física: o resultado não depende de
nem de porque, para o aro fino, a fração da energia que vai para rotação é fixa; tudo que importa é a velocidade inicial e a gravidade . - Bom trabalho! Mesmo parecendo muita conta, o raciocínio se resume a escrever corretamente as energias, usar
e conservar energia — aí a aritmética fica tranquila.