Q12. Uma barra de comprimento 2 a e massa M está livre e em repouso sobre uma mesa horizontal sem atrito. Ela recebe um impulso \hat{P}, que é aplicado a uma distancia " b " ( b<a ) de seu centro de massa e perpendicular à barra. Sabendo-se que o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra e passando por uma de sua extremidade é I=\frac{4 a m^{2}}{3}, calcule, em função de M, a, b e \hat{P} : (a) A velocidade angular \omega da barra imediatamente após receber o impulso; (b) A energia cinética total da barra imediatamente após receber o impulso.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do enunciado):
  • Barra rígida de comprimento 2a e massa M, inicialmente em repouso sobre uma mesa sem atrito.
  • Um impulso \hat{P} é aplicado perpendicularmente à barra a uma distância b do centro de massa, com b<a.
  • Foi fornecido o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra passando por uma das extremidades: \displaystyle I_{\text{ext}}=\frac{4}{3} M a^{2}. (Interpretei a notação do enunciado de modo que essa seja a expressão correta.)
  • Perguntas pedidas:
    (a) determinar a velocidade angular \omega da barra imediatamente após o impulso;
    (b) determinar a energia cinética total da barra imediatamente após o impulso.

Passo 2

Primeiro precisamos do momento de inércia em relação ao centro de massa, I_{\text{cm}}. Vou usar o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner), que diz que para um eixo a uma distância d do centro de massa:
I_{\text{eixo}} = I_{\text{cm}} + M d^{2}.
No nosso caso, o eixo na extremidade está a distância d=a do centro, e o enunciado dá \displaystyle I_{\text{ext}}=\frac{4}{3} M a^{2}. Então:
\frac{4}{3} M a^{2} = I_{\text{cm}} + M a^{2}.
Isolando I_{\text{cm}},
I_{\text{cm}} = \frac{4}{3} M a^{2} - M a^{2} = \frac{1}{3} M a^{2}.
Comentário didático curto: o momento de inércia mede a “inércia rotacional” da barra em torno de um eixo; para uma barra de comprimento 2a girando em torno do centro vale \displaystyle I_{\text{cm}}=\tfrac{1}{12}M(2a)^{2}=\tfrac{1}{3}M a^{2}, consistente com o resultado acima.

Passo 3

Agora aplicamos a conservação do impulso linear (teorema impulso-quantidade de movimento) para a translação do centro de massa. O impulso total perpendicular aplicado vale \hat{P}, e como a barra estava em repouso:
M v_{\text{cm}} = \hat{P}.
Portanto a velocidade do centro de massa imediatamente após o impulso é
v_{\text{cm}} = \frac{\hat{P}}{M}.
Explicação didática: impulso é a integral da força no tempo; ele altera a quantidade de movimento M v. Como a força é perpendicular e aplicada instantaneamente, toda a componente perpendicular transmite esse impulso ao CM.

Passo 4

Para a rotação usamos o teorema impulso-momento angular em torno do centro de massa: o impulso angular (torque impulsivo) relativo ao CM é \hat{P}\,b (produto do impulso pela alavanca b), e isso altera o momento angular da barra segundo
I_{\text{cm}}\,\omega = \hat{P}\,b,
já que o momento angular inicial era zero. Assim:
\omega = \frac{\hat{P}\,b}{I_{\text{cm}}}.
Substituindo I_{\text{cm}}=\dfrac{1}{3}M a^{2} (do Passo 2) obtemos
\omega = \frac{\hat{P}\,b}{\tfrac{1}{3}M a^{2}} = \frac{3\hat{P}\,b}{M a^{2}}.
Interpretação: quanto maior a alavanca b, maior o torque impulsivo e, portanto, maior a rotação; se b=0 não há rotação.

Passo 5

Agora calculamos a energia cinética total imediatamente após o impulso. A energia cinética tem duas partes: translação do centro de massa e rotação em torno do centro de massa.
  1. Energia cinética de translação:
K_{\text{trans}}=\frac{1}{2}M v_{\text{cm}}^{2}=\frac{1}{2}M\left(\frac{\hat{P}}{M}\right)^{2}=\frac{\hat{P}^{2}}{2M}.
  1. Energia cinética de rotação em torno do CM:
K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}I_{\text{cm}}\omega^{2}.
Usando \omega=\dfrac{\hat{P}b}{I_{\text{cm}}} (Passo 4) dá
K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}I_{\text{cm}}\left(\frac{\hat{P}b}{I_{\text{cm}}}\right)^{2}=\frac{\hat{P}^{2}b^{2}}{2I_{\text{cm}}}.
Substituindo I_{\text{cm}}=\dfrac{1}{3}M a^{2} obtém-se
K_{\text{rot}}=\frac{\hat{P}^{2}b^{2}}{2\left(\tfrac{1}{3}M a^{2}\right)}=\frac{3\hat{P}^{2}b^{2}}{2 M a^{2}}.
Somando as duas parcelas:
K_{\text{total}}=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}=\frac{\hat{P}^{2}}{2M}+\frac{3\hat{P}^{2}b^{2}}{2 M a^{2}} =\frac{\hat{P}^{2}}{2M}\!\left(1+\frac{3b^{2}}{a^{2}}\right).
Breve comentário: se b=0 recupera-se K=\dfrac{\hat{P}^{2}}{2M} (somente translação); se b aumenta, a fração rotacional aumenta.

Resposta

(a) \displaystyle \omega=\frac{3\hat{P}\,b}{M a^{2}}
(b) \displaystyle K_{\text{total}}=\frac{\hat{P}^{2}}{2M}\!\left(1+\frac{3b^{2}}{a^{2}}\right)

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