Q12. Uma barra de comprimento
e massa
está livre e em repouso sobre uma mesa horizontal sem atrito. Ela recebe um impulso
, que é aplicado a uma distancia "
" (
) de seu centro de massa e perpendicular à barra. Sabendo-se que o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra e passando por uma de sua extremidade é
, calcule, em função de
e
: (a) A velocidade angular
da barra imediatamente após receber o impulso; (b) A energia cinética total da barra imediatamente após receber o impulso.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do enunciado):
- Barra rígida de comprimento
e massa , inicialmente em repouso sobre uma mesa sem atrito. - Um impulso
é aplicado perpendicularmente à barra a uma distância do centro de massa, com . - Foi fornecido o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra passando por uma das extremidades:
. (Interpretei a notação do enunciado de modo que essa seja a expressão correta.) - Perguntas pedidas:
(a) determinar a velocidade angularda barra imediatamente após o impulso;
(b) determinar a energia cinética total da barra imediatamente após o impulso.
Passo 2
Primeiro precisamos do momento de inércia em relação ao centro de massa,
. Vou usar o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner), que diz que para um eixo a uma distância
do centro de massa:
No nosso caso, o eixo na extremidade está a distância
do centro, e o enunciado dá
. Então:
Isolando
,
Comentário didático curto: o momento de inércia mede a “inércia rotacional” da barra em torno de um eixo; para uma barra de comprimento
girando em torno do centro vale
, consistente com o resultado acima.
Passo 3
Agora aplicamos a conservação do impulso linear (teorema impulso-quantidade de movimento) para a translação do centro de massa. O impulso total perpendicular aplicado vale
, e como a barra estava em repouso:
Portanto a velocidade do centro de massa imediatamente após o impulso é
Explicação didática: impulso é a integral da força no tempo; ele altera a quantidade de movimento
. Como a força é perpendicular e aplicada instantaneamente, toda a componente perpendicular transmite esse impulso ao CM.
Passo 4
Para a rotação usamos o teorema impulso-momento angular em torno do centro de massa: o impulso angular (torque impulsivo) relativo ao CM é
(produto do impulso pela alavanca
), e isso altera o momento angular da barra segundo
já que o momento angular inicial era zero. Assim:
Substituindo
(do Passo 2) obtemos
Interpretação: quanto maior a alavanca
, maior o torque impulsivo e, portanto, maior a rotação; se
não há rotação.
Passo 5
Agora calculamos a energia cinética total imediatamente após o impulso. A energia cinética tem duas partes: translação do centro de massa e rotação em torno do centro de massa.
- Energia cinética de translação:
- Energia cinética de rotação em torno do CM:
Usando
(Passo 4) dá
Substituindo
obtém-se
Somando as duas parcelas:
Breve comentário: se
recupera-se
(somente translação); se
aumenta, a fração rotacional aumenta.
Resposta
(a)
(b)