Calcule o momento de inércia de um anel circular de massa M e raio R em relação a um de seu diâmetro.

Passo 1

O enunciado dá um anel circular fino com massa M e raio R. O eixo pedido é um dos diâmetros do anel (isto é, um eixo que passa pelo centro do anel e fica contido no plano do anel).
A pergunta é: calcular o momento de inércia do anel em relação a esse diâmetro.

Passo 2

Definição e ideia básica (o que vou usar). O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é a soma (ou integral) das contribuições r^2\,dm de cada elemento de massa, onde r é a distância do elemento ao eixo. Em fórmulas:
I=\int r^{2}\,dm.
Aqui dm é um elemento de massa e r é a distância desse elemento ao eixo considerado. Para um anel fino usaremos dois argumentos complementares: (A) aplicação do teorema dos eixos perpendiculares para uma distribuição plana e simétrica; (B) verificação por integração direta (para ver como fazer na prova, passo a passo).
Primeiro lembrete útil: o momento de inércia do anel em relação ao eixo perpendicular ao plano e passando pelo centro (chamemos esse eixo de z) é simples de obter, porque todos os elementos estão à mesma distância R do eixo. Assim
I_{z}=\int R^{2}\,dm=R^{2}\int dm=R^{2}M=MR^{2}.
Aqui I_{z} significa o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano do anel.

Passo 3

Solução pelo teorema dos eixos perpendiculares (método mais rápido). Para uma distribuição de massa que esteja no plano xy (como o anel), vale o teorema dos eixos perpendiculares:
I_{z}=I_{x}+I_{y},
onde I_{x} e I_{y} são os momentos de inércia em torno de eixos no plano que se cruzam no centro (por exemplo, dois diâmetros perpendiculares). O anel é simétrico em relação a qualquer diâmetro, logo os momentos em torno de dois diâmetros perpendiculares são iguais:
I_{x}=I_{y}.
Portanto,
I_{x}=I_{y}=\frac{I_{z}}{2}.
Substituindo I_{z}=MR^{2} (obtido no passo anterior), obtemos
I_{x}=\frac{1}{2}MR^{2}.
Isto já responde a questão: o momento de inércia em relação a qualquer diâmetro é \dfrac{1}{2}MR^{2}.

Passo 4

Verificação por integração direta (mostra como executar integrais na prova). Parametrizamos o anel por um ângulo \theta. A posição de um elemento de massa pode ser descrita por coordenadas
x=R\cos\theta,\qquad y=R\sin\theta,
com \theta\in[0,2\pi). Escolhendo o eixo pedido como o eixo x (um diâmetro), a distância de um elemento desse eixo é |y|=R|\sin\theta|. A contribuição elementar ao momento de inércia é
dI_x = y^{2}\,dm = R^{2}\sin^{2}\theta\,dm.
Para um anel uniforme dm é proporcional a d\theta; escrevemos
dm=\frac{M}{2\pi}\,d\theta.
Assim
I_{x}=\int_{0}^{2\pi}R^{2}\sin^{2}\theta\;\frac{M}{2\pi}\,d\theta=\frac{MR^{2}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta.
Calculemos a integral de \sin^{2}\theta. Usando a identidade \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos 2\theta}{2} temos
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos 2\theta}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\bigg[\theta-\frac{\sin 2\theta}{2}\bigg]_{0}^{2\pi}=\frac{1}{2}\cdot(2\pi)=\pi.
Portanto
I_{x}=\frac{MR^{2}}{2\pi}\cdot\pi=\frac{1}{2}MR^{2},
confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 5

Interpretação final e observações práticas. Devido à simetria do anel, o momento de inércia em relação a qualquer diâmetro (qualquer eixo no plano do anel que passe pelo centro) vale o mesmo e é \dfrac{1}{2}MR^{2}. Na prova, este problema pode ser resolvido rapidamente com o teorema dos eixos perpendiculares; se quiseres mostrar trabalho completo, a integração por \theta é direta e costuma agradar corretores.

Resposta

\dfrac{1}{2}MR^{2}

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