Calcule o momento de inércia de um anel circular de massa
e raio
em relação a um de seu diâmetro.
Passo 1
O enunciado dá um anel circular fino com massa
e raio
. O eixo pedido é um dos diâmetros do anel (isto é, um eixo que passa pelo centro do anel e fica contido no plano do anel).
A pergunta é: calcular o momento de inércia do anel em relação a esse diâmetro.
A pergunta é: calcular o momento de inércia do anel em relação a esse diâmetro.
Passo 2
Definição e ideia básica (o que vou usar). O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é a soma (ou integral) das contribuições
de cada elemento de massa, onde
é a distância do elemento ao eixo. Em fórmulas:
Aqui
é um elemento de massa e
é a distância desse elemento ao eixo considerado. Para um anel fino usaremos dois argumentos complementares: (A) aplicação do teorema dos eixos perpendiculares para uma distribuição plana e simétrica; (B) verificação por integração direta (para ver como fazer na prova, passo a passo).
Primeiro lembrete útil: o momento de inércia do anel em relação ao eixo perpendicular ao plano e passando pelo centro (chamemos esse eixo de
) é simples de obter, porque todos os elementos estão à mesma distância
do eixo. Assim
Aqui
significa o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano do anel.
Passo 3
Solução pelo teorema dos eixos perpendiculares (método mais rápido). Para uma distribuição de massa que esteja no plano
(como o anel), vale o teorema dos eixos perpendiculares:
onde
e
são os momentos de inércia em torno de eixos no plano que se cruzam no centro (por exemplo, dois diâmetros perpendiculares). O anel é simétrico em relação a qualquer diâmetro, logo os momentos em torno de dois diâmetros perpendiculares são iguais:
Portanto,
Substituindo
(obtido no passo anterior), obtemos
Isto já responde a questão: o momento de inércia em relação a qualquer diâmetro é
.
Passo 4
Verificação por integração direta (mostra como executar integrais na prova). Parametrizamos o anel por um ângulo
. A posição de um elemento de massa pode ser descrita por coordenadas
com
. Escolhendo o eixo pedido como o eixo
(um diâmetro), a distância de um elemento desse eixo é
. A contribuição elementar ao momento de inércia é
Para um anel uniforme
é proporcional a
; escrevemos
Assim
Calculemos a integral de
. Usando a identidade
temos
Portanto
confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 5
Interpretação final e observações práticas. Devido à simetria do anel, o momento de inércia em relação a qualquer diâmetro (qualquer eixo no plano do anel que passe pelo centro) vale o mesmo e é
. Na prova, este problema pode ser resolvido rapidamente com o teorema dos eixos perpendiculares; se quiseres mostrar trabalho completo, a integração por
é direta e costuma agradar corretores.