Em um artigo escrito em 1971, V.A Turcker e K.Schmidt-Koening investigaram a relação entre a velocidade
(em
) de um pássaro em vôo e a energia
consumida pelo pássaro. O estudo mostrou que para um tipo de periquito, a taxa de variação da energia com a velocidade é dada por:
onde
. Suponha que os cientistas tenham determinado que quando o periquito está voando com a velocidade mais econômica (a que minimiza
), a energia consumida é
calorias por grama por quilômetro. Qual é a função
?
Passo 1
O enunciado dá a taxa de variação da energia em função da velocidade:
As informações / pedidos são:
- Determinar a função
. - Sabe-se que a energia é mínima quando o pássaro voa com a velocidade mais econômica; nesse ponto mínimo a energia vale
(calorias por grama por quilômetro). - Não foi dada explicitamente a velocidade que minimiza, apenas que o valor mínimo de
é .
A partir disso devemos recuperar(isto é, integrar a derivada e usar a condição do mínimo para encontrar a constante de integração).
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão da derivada para integrar com facilidade:
Agora integramos termo a termo em relação a
. Lembrete rápido da técnica:
para constante
, e
. Aplicando:
Usando
obtemos:
onde
é a constante de integração desconhecida. Até aqui temos a família de funções:
Passo 3
Para usar a informação do mínimo precisamos achar a velocidade
que torna
mínima. A condição necessária para extremo é
. Já temos
, então imponha:
Isolando
:
Podemos simplificar a fração:
. Então
Numericamente,
Passo 4
Verificamos que esse ponto é um mínimo usando a segunda derivada. Calculamos
Como
, temos
, logo a segunda derivada é positiva e o ponto crítico encontrado é de fato um mínimo. Boa notícia — é o mínimo econômico procurado.
Passo 5
Agora usamos a condição que o valor mínimo da energia é
quando
. Substituímos em
Em
obtemos
Mas da equação do Passo 3 temos
. Multiplicando ambos os lados por
dá
Portanto os dois termos que dependem de
são iguais, e
Assim
Substituindo
obtemos a constante explicitamente. Numericamente,
Passo 6
Portanto a função
solicitada é
(Se preferir escrever a constante \emph{exata} em termos de
, temos
.)