Em um artigo escrito em 1971, V.A Turcker e K.Schmidt-Koening investigaram a relação entre a velocidade v (em \mathrm{km} / \mathrm{h} ) de um pássaro em vôo e a energia E(v) consumida pelo pássaro. O estudo mostrou que para um tipo de periquito, a taxa de variação da energia com a velocidade é dada por:
\frac{d E}{d v}=\frac{0.074 v^{2}-112.65}{v^{2}}
onde v>0. Suponha que os cientistas tenham determinado que quando o periquito está voando com a velocidade mais econômica (a que minimiza E ), a energia consumida é E_{\text {min }}=0.6 calorias por grama por quilômetro. Qual é a função E(v) ?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação da energia em função da velocidade:
\frac{dE}{dv}=\frac{0,074\,v^{2}-112,65}{v^{2}},\qquad v>0.
As informações / pedidos são:
  • Determinar a função E(v).
  • Sabe-se que a energia é mínima quando o pássaro voa com a velocidade mais econômica; nesse ponto mínimo a energia vale E_{\text{min}}=0,6 (calorias por grama por quilômetro).
  • Não foi dada explicitamente a velocidade que minimiza, apenas que o valor mínimo de E é 0,6.
    A partir disso devemos recuperar E(v) (isto é, integrar a derivada e usar a condição do mínimo para encontrar a constante de integração).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão da derivada para integrar com facilidade:
\frac{dE}{dv}=\frac{0,074\,v^{2}-112,65}{v^{2}}=0,074-\frac{112,65}{v^{2}}.
Agora integramos termo a termo em relação a v. Lembrete rápido da técnica: \displaystyle\int a\,dv = a v + C para constante a, e \displaystyle\int v^{-2}dv = -v^{-1}+C. Aplicando:
E(v)=\int\!\left(0,074-\frac{112,65}{v^{2}}\right)dv =0,074\,v-112,65\int v^{-2}dv.
Usando \displaystyle\int v^{-2}dv=-\frac{1}{v} obtemos:
E(v)=0,074\,v-112,65\left(-\frac{1}{v}\right)+C =0,074\,v+\frac{112,65}{v}+C,
onde C é a constante de integração desconhecida. Até aqui temos a família de funções:
E(v)=0,074\,v+\frac{112,65}{v}+C.

Passo 3

Para usar a informação do mínimo precisamos achar a velocidade v que torna E mínima. A condição necessária para extremo é dE/dv=0. Já temos dE/dv, então imponha:
0,074-\frac{112,65}{v^{2}}=0.
Isolando v^{2}:
\frac{112,65}{v^{2}}=0,074 \quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{112,65}{0,074}.
Podemos simplificar a fração: \displaystyle v^{2}=\frac{112650}{74}=\frac{56325}{37}. Então
v_{\min}=\sqrt{\frac{112,65}{0,074}}=\sqrt{\frac{56325}{37}}.
Numericamente,
v_{\min}\approx 39,016633\\ \text{(km/h)}.

Passo 4

Verificamos que esse ponto é um mínimo usando a segunda derivada. Calculamos
\frac{d^{2}E}{dv^{2}}=\frac{d}{dv}\left(0,074-\frac{112,65}{v^{2}}\right) = -112,65\cdot(-2)v^{-3}=\frac{225,3}{v^{3}}.
Como v>0, temos \dfrac{225,3}{v^{3}}>0, logo a segunda derivada é positiva e o ponto crítico encontrado é de fato um mínimo. Boa notícia — é o mínimo econômico procurado.

Passo 5

Agora usamos a condição que o valor mínimo da energia é E_{\min}=0,6 quando v=v_{\min}. Substituímos em
E(v)=0,074\,v+\frac{112,65}{v}+C.
Em v=v_{\min} obtemos
0,6=0,074\,v_{\min}+\frac{112,65}{v_{\min}}+C.
Mas da equação do Passo 3 temos 0,074=\dfrac{112,65}{v_{\min}^{2}}. Multiplicando ambos os lados por v_{\min}
0,074\,v_{\min}=\frac{112,65}{v_{\min}}.
Portanto os dois termos que dependem de v_{\min} são iguais, e
0,074\,v_{\min}+\frac{112,65}{v_{\min}}=2\cdot 0,074\,v_{\min}=0,148\,v_{\min}.
Assim
0,6=0,148\,v_{\min}+C \quad\Rightarrow\quad C=0,6-0,148\,v_{\min}.
Substituindo v_{\min}=\sqrt{112,65/0,074} obtemos a constante explicitamente. Numericamente,
v_{\min}\approx 39,016633\quad\Rightarrow\quad C\approx 0,6-0,148\cdot 39,016633 \approx 0,6-5,774461684\approx -5,174461684.

Passo 6

Portanto a função E(v) solicitada é
E(v)=0,074\,v+\frac{112,65}{v}-5,174461684\qquad (v>0).
(Se preferir escrever a constante \emph{exata} em termos de v_{\min}, temos C=0,6-0,148\sqrt{112,65/0,074}.)

Resposta

E(v)=0,074\,v+\frac{112,65}{v}-5,174461684

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