Uma bomba injeta líquido em um tanque de 900 litros de capacidade, de forma cilindrica e base horizontal, à razão, em cada instante
(em horas), de
litros por hora, e uma outra, simultaneamente, retira o líquido à razão de
litros por hora. No instante inicial
o tanque está vazio.
(i)Determine o maior volume de líquido no tanque que ocorre entre o instante 0 e duas horas após, e o instante em que isso ocorreu.
(ii)Qual o volume de líquido no tanque para
?
(i)Determine o maior volume de líquido no tanque que ocorre entre o instante 0 e duas horas após, e o instante em que isso ocorreu.
(ii)Qual o volume de líquido no tanque para
Passo 1
O enunciado dá as taxas (em litros por hora) de entrada e saída do tanque, o tanque tem capacidade de
litros e está vazio em
. As perguntas são:
(i) determinar o maior volume de líquido no tanque no intervalo de tempo e o instante em que esse máximo ocorre;
(ii) determinar o volume de líquido no tanque em .
(i) determinar o maior volume de líquido no tanque no intervalo de tempo
(ii) determinar o volume de líquido no tanque em
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro construímos a taxa líquida de variação do volume no tanque: é entrada menos saída. Então, para
,
Vou reorganizar os termos por potência de
:
Explicação didática:
é a derivada do volume em relação ao tempo, ou seja, quantos litros por hora o volume está aumentando (positivo) ou diminuindo (negativo) no instante
. Como temos taxas de entrada e saída em litros por hora, subtraímos para obter a taxa líquida.
Passo 3
Para obter o volume
usamos a relação entre taxa e volume: integrar a taxa líquida no tempo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
. Como
,
Agora integro termo a termo. Regras usadas:
para
.
Somando e avaliando de
a
(e lembrando que em
tudo dá zero):
Explicação didática: essa é a função que nos dá o volume no tanque em litros, em qualquer instante
, antes de considerar a capacidade máxima. Se essa expressão exceder
, o tanque teria transbordado e o volume real ficaria limitado a
.
Passo 4
Para encontrar máximos/minimos em
usamos derivadas: os pontos críticos ocorrem onde
ou onde
não está definida (aqui
é polinomial, sempre definida). Já temos
; fatoro para resolver
. Factorização passo a passo: fator comum
,
O trinômio fatora como
Portanto
As raízes são
. Essas são as únicas possíveis mudanças de comportamento do sinal de
no intervalo.
Didática adicional: resolver
nos dá instantes em que a taxa de variação do volume é zero — pontos onde o volume pode ter máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão.
Passo 5
Análise do sinal de
para determinar se cada ponto crítico é máximo ou mínimo (faço um quadro mental de sinal usando intervalos):
- Para
: , , . Produto é positivo (negativo vezes negativo), multiplicando por e resulta em . Logo cresce em . - Para
: , , . Produto tem sinal negativo, então . Logo decresce em . - Em
e as derivadas são zero; é início do intervalo (condição inicial), é fim do intervalo.
Conclusão: em
a função cresce de
até
e depois decresce até
. Portanto
é um máximo local — e como é único ponto onde a função passa de crescer para decrescer no intervalo, é o máximo global no intervalo
.
Passo 6
Calculo o volume no instante
. Substituo em
:
Faço as contas passo a passo:
Somando:
Ou seja, o volume máximo encontrado no intervalo é
litros. Verifico a capacidade:
, portanto não houve transbordamento; o valor é válido.
Didática: sempre compare o volume calculado com a capacidade do tanque para saber se o modelo de integração (sem limite) é suficiente ou se é preciso truncar pelo limite físico.
Passo 7
Calculo o volume no instante
. Substituo em
:
Calculo passo a passo:
Somando:
Interpretação: ao final de duas horas o volume volta para
litros; o líquido entrou e saiu de tal forma que o tanque ficou vazio em
.
Passo 8
Resumo do raciocínio final e checagens:
- A função volume
descreve o volume sem considerar limite de capacidade. - A derivada
tem zeros em . Pelo sinal de concluímos que é máximo no intervalo . - O valor do máximo é
litros, menor que a capacidade , logo é o máximo real. - O volume em
é litros.
Resposta
(i) O maior volume é
litros e ocorre em
hora.
(ii) O volume no tanque para é
litros.
(ii) O volume no tanque para