Uma bomba injeta líquido em um tanque de 900 litros de capacidade, de forma cilindrica e base horizontal, à razão, em cada instante t \geq 0 (em horas), de 400 t^{3}+800 t litros por hora, e uma outra, simultaneamente, retira o líquido à razão de 1200 t^{2} litros por hora. No instante inicial t=0 o tanque está vazio.
(i)Determine o maior volume de líquido no tanque que ocorre entre o instante 0 e duas horas após, e o instante em que isso ocorreu.
(ii)Qual o volume de líquido no tanque para t=2 ?

Passo 1

O enunciado dá as taxas (em litros por hora) de entrada e saída do tanque, o tanque tem capacidade de 900 litros e está vazio em t=0. As perguntas são:
(i) determinar o maior volume de líquido no tanque no intervalo de tempo 0\le t\le 2 e o instante em que esse máximo ocorre;
(ii) determinar o volume de líquido no tanque em t=2.
Informações relevantes fornecidas:
\text{taxa de entrada} = 400 t^{3}+800 t
\text{taxa de saída} = 1200 t^{2}í
\text{capacidade do tanque} = 900
V(0)=0

Passo 2

Primeiro construímos a taxa líquida de variação do volume no tanque: é entrada menos saída. Então, para t\ge 0,
V'(t)=400 t^{3}+800 t-1200 t^{2}.
Vou reorganizar os termos por potência de t:
V'(t)=400 t^{3}-1200 t^{2}+800 t.
Explicação didática: V'(t) é a derivada do volume em relação ao tempo, ou seja, quantos litros por hora o volume está aumentando (positivo) ou diminuindo (negativo) no instante t. Como temos taxas de entrada e saída em litros por hora, subtraímos para obter a taxa líquida.

Passo 3

Para obter o volume V(t) usamos a relação entre taxa e volume: integrar a taxa líquida no tempo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, V(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} V'(s)\,ds + V(0). Como V(0)=0,
V(t)=\int_{0}^{t}\bigl(400 s^{3}-1200 s^{2}+800 s\bigr)\,ds.
Agora integro termo a termo. Regras usadas: \displaystyle\int s^{n}\,ds=\frac{s^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
\int 400 s^{3}\,ds = 400\cdot\frac{s^{4}}{4}=100 s^{4}
\int -1200 s^{2}\,ds = -1200\cdot\frac{s^{3}}{3}=-400 s^{3}
\int 800 s\,ds = 800\cdot\frac{s^{2}}{2}=400 s^{2}
Somando e avaliando de 0 a t (e lembrando que em 0 tudo dá zero):
V(t)=100 t^{4}-400 t^{3}+400 t^{2}.
Explicação didática: essa é a função que nos dá o volume no tanque em litros, em qualquer instante t, antes de considerar a capacidade máxima. Se essa expressão exceder 900, o tanque teria transbordado e o volume real ficaria limitado a 900.

Passo 4

Para encontrar máximos/minimos em [0,2] usamos derivadas: os pontos críticos ocorrem onde V'(t)=0 ou onde V' não está definida (aqui V' é polinomial, sempre definida). Já temos V'(t); fatoro para resolver V'(t)=0. Factorização passo a passo: fator comum 400 t,
V'(t)=400 t\bigl(t^{2}-3t+2\bigr).
O trinômio fatora como
t^{2}-3t+2=(t-1)(t-2).
Portanto
V'(t)=400 t(t-1)(t-2).
As raízes são t=0,\;t=1,\;t=2. Essas são as únicas possíveis mudanças de comportamento do sinal de V' no intervalo.
Didática adicional: resolver V'(t)=0 nos dá instantes em que a taxa de variação do volume é zero — pontos onde o volume pode ter máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão.

Passo 5

Análise do sinal de V'(t) para determinar se cada ponto crítico é máximo ou mínimo (faço um quadro mental de sinal usando intervalos):
  • Para t\in(0,1): t>0, t-1<0, t-2<0. Produto (t-1)(t-2) é positivo (negativo vezes negativo), multiplicando por t>0 e 400>0 resulta em V'(t)>0. Logo V cresce em (0,1).
  • Para t\in(1,2): t>0, t-1>0, t-2<0. Produto tem sinal negativo, então V'(t)<0. Logo V decresce em (1,2).
  • Em t=0 e t=2 as derivadas são zero; t=0 é início do intervalo (condição inicial), t=2 é fim do intervalo.
Conclusão: em [0,2] a função cresce de 0 até t=1 e depois decresce até t=2. Portanto t=1 é um máximo local — e como é único ponto onde a função passa de crescer para decrescer no intervalo, é o máximo global no intervalo [0,2].

Passo 6

Calculo o volume no instante t=1. Substituo em V(t):
V(1)=100\cdot 1^{4}-400\cdot 1^{3}+400\cdot 1^{2}.
Faço as contas passo a passo:
100\cdot 1^{4}=100,
-400\cdot 1^{3}=-400,
400\cdot 1^{2}=400.
Somando:
V(1)=100-400+400=100.
Ou seja, o volume máximo encontrado no intervalo é 100 litros. Verifico a capacidade: 100<900, portanto não houve transbordamento; o valor é válido.
Didática: sempre compare o volume calculado com a capacidade do tanque para saber se o modelo de integração (sem limite) é suficiente ou se é preciso truncar pelo limite físico.

Passo 7

Calculo o volume no instante t=2. Substituo em V(t):
V(2)=100\cdot 2^{4}-400\cdot 2^{3}+400\cdot 2^{2}.
Calculo passo a passo:
2^{2}=4,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{4}=16.
100\cdot 16=1600,
-400\cdot 8=-3200,
400\cdot 4=1600.
Somando:
V(2)=1600-3200+1600=0.
Interpretação: ao final de duas horas o volume volta para 0 litros; o líquido entrou e saiu de tal forma que o tanque ficou vazio em t=2.

Passo 8

Resumo do raciocínio final e checagens:
  • A função volume V(t)=100 t^{4}-400 t^{3}+400 t^{2} descreve o volume sem considerar limite de capacidade.
  • A derivada V'(t)=400 t(t-1)(t-2) tem zeros em 0,1,2. Pelo sinal de V' concluímos que t=1 é máximo no intervalo [0,2].
  • O valor do máximo é V(1)=100 litros, menor que a capacidade 900, logo é o máximo real.
  • O volume em t=2 é V(2)=0 litros.

Resposta

(i) O maior volume é 100 litros e ocorre em t=1 hora.
(ii) O volume no tanque para t=2 é 0 litros.

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