Uma firma de construção quer armazenar 10 toneladas de um produto, cujo uso ao longo do tempo varia a uma taxa prevista que no instante
vale
toneladas/mês,
o tempo em meses decorrido após o início do armazenamento. O preço de armazenamento é de 0.05 reais por quilo por mês. Determine o valor pago ao dono do armazem após um ano.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Quantidade inicial armazenada:
toneladas. - Taxa prevista de consumo (uso) no instante
: toneladas por mês, onde é o tempo em meses contado desde o início do armazenamento. - Preço de armazenamento:
reais por quilo por mês. - Pergunta: determinar o valor total pago ao dono do armazém após um ano (ou seja, no período de
meses).
Passo 2
Modelagem do estoque
(em toneladas) ao longo do tempo e raciocínio sobre o sinal:
- A taxa de consumo é
toneladas/mês, logo o estoque diminui nessa taxa. Isso leva à equação diferencial simples
onde o sinal negativo indica que o estoque está diminuindo. A condição inicial é
toneladas.
- Agora vamos integrar essa equação para obter
. Integração de em relação a dá
Calcule a integral:
. Portanto
Expliquei cada passo da integração para você poder reproduzir na prova: integrar uma função polinomial segue a regra
.
Passo 3
Determinar até quando há estoque (importante para saber até quando pagar armazenamento):
- O estoque zera quando
. Resolva
- Assim o tempo em que o estoque acaba é
Comentário amigável: depois de
não há mais produto para armazenar, então não se paga armazenamento após esse tempo (mesmo que o pedido seja “após um ano”, não há estoque durante todo o ano).
Passo 4
Montar a expressão do custo total como integral no tempo:
- O preço é dado por
reais por quilo por mês. Como está em toneladas, convertemos: tonelada kg. Assim o custo por mês, em reais, quando a quantidade é toneladas é
- O custo total pago desde
até meses é a integral desse custo instantâneo. Mas como o estoque some em , integramos apenas até :
Passo 5
Calcular a integral passo a passo e simplificar simbolicamente:
- Integre termwise:
- Calcule cada integral:
. E . Logo a expressão dentro dos colchetes é . Multiplicando por :
- Substitua
. Primeiro calcule simbolicamente:
- Portanto
- Multiplicando por
dá o resultado exato
Passo 6
Passar para valor numérico aproximado e interpretar:
- Calcule numericamente
. Usando obtemos
- Interpretação: como o produto acabou antes de 12 meses (aprox. aos
meses), o dono da firma paga armazenamento somente enquanto havia produto; o valor total pago ao dono do armazém após um ano é aproximadamente .