Uma firma de construção quer armazenar 10 toneladas de um produto, cujo uso ao longo do tempo varia a uma taxa prevista que no instante t vale 0.6 t toneladas/mês, t o tempo em meses decorrido após o início do armazenamento. O preço de armazenamento é de 0.05 reais por quilo por mês. Determine o valor pago ao dono do armazem após um ano.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Quantidade inicial armazenada: 10 toneladas.
  • Taxa prevista de consumo (uso) no instante t: 0,6\,t toneladas por mês, onde t é o tempo em meses contado desde o início do armazenamento.
  • Preço de armazenamento: 0,05 reais por quilo por mês.
  • Pergunta: determinar o valor total pago ao dono do armazém após um ano (ou seja, no período de 12 meses).

Passo 2

Modelagem do estoque Q(t) (em toneladas) ao longo do tempo e raciocínio sobre o sinal:
  • A taxa de consumo é 0,6\,t toneladas/mês, logo o estoque diminui nessa taxa. Isso leva à equação diferencial simples
\frac{dQ}{dt} = -0,6\,t,
onde o sinal negativo indica que o estoque está diminuindo. A condição inicial é Q(0)=10 toneladas.
  • Agora vamos integrar essa equação para obter Q(t). Integração de \frac{dQ}{dt} = -0,6\,t em relação a t
Q(t)=10-\int_{0}^{t}0,6\,s\,ds.
Calcule a integral: \int 0,6\,s\,ds = 0,6\cdot\frac{s^{2}}{2}=0,3\,s^{2}. Portanto
Q(t)=10-0,3\,t^{2}.
Expliquei cada passo da integração para você poder reproduzir na prova: integrar uma função polinomial segue a regra \int s^n ds = s^{n+1}/(n+1).

Passo 3

Determinar até quando há estoque (importante para saber até quando pagar armazenamento):
  • O estoque zera quando Q(t)=0. Resolva
10-0,3\,t^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{10}{0,3}=\frac{100}{3}.
  • Assim o tempo em que o estoque acaba é
t_{0}=\sqrt{\frac{100}{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}\\ \text{meses}\approx 5,7735\\ \text{meses}.
Comentário amigável: depois de t_{0} não há mais produto para armazenar, então não se paga armazenamento após esse tempo (mesmo que o pedido seja “após um ano”, não há estoque durante todo o ano).

Passo 4

Montar a expressão do custo total como integral no tempo:
  • O preço é dado por 0,05 reais por quilo por mês. Como Q(t) está em toneladas, convertemos: 1 tonelada =1000 kg. Assim o custo por mês, em reais, quando a quantidade é Q(t) toneladas é
\text{custo instantâneo} = 0,05\\ \frac{\text{R\$}}{\text{kg}\cdot\text{mês}}\times 1000\\ \frac{\text{kg}}{\text{tonelada}}\times Q(t)=50\,Q(t).âê
  • O custo total pago desde t=0 até t=12 meses é a integral desse custo instantâneo. Mas como o estoque some em t_{0}<12, integramos apenas até t_{0}:
\text{Custo total}=\int_{0}^{t_{0}}50\,Q(t)\,dt=\int_{0}^{t_{0}}50\bigl(10-0,3\,t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo e simplificar simbolicamente:
  • Integre termwise:
\int_{0}^{t_{0}}50\bigl(10-0,3\,t^{2}\bigr)\,dt=50\left[\int_{0}^{t_{0}}10\,dt-\int_{0}^{t_{0}}0,3\,t^{2}\,dt\right].
  • Calcule cada integral: \int_{0}^{t_{0}}10\,dt=10\,t_{0}. E \int_{0}^{t_{0}}0,3\,t^{2}\,dt=0,3\cdot\frac{t_{0}^{3}}{3}=0,1\,t_{0}^{3}. Logo a expressão dentro dos colchetes é 10\,t_{0}-0,1\,t_{0}^{3}. Multiplicando por 50:
\text{Custo total}=50\bigl(10\,t_{0}-0,1\,t_{0}^{3}\bigr).
  • Substitua t_{0}=\dfrac{10}{\sqrt{3}}. Primeiro calcule simbolicamente:
10\,t_{0}=10\cdot\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{100}{\sqrt{3}},
0,1\,t_{0}^{3}=0,1\cdot\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^{3}=0,1\cdot\frac{1000}{3\sqrt{3}}=\frac{100}{3\sqrt{3}}.
  • Portanto
10\,t_{0}-0,1\,t_{0}^{3}=\frac{100}{\sqrt{3}}-\frac{100}{3\sqrt{3}}=\frac{100}{\sqrt{3}}\Bigl(1-\frac{1}{3}\Bigr)=\frac{200}{3\sqrt{3}}.
  • Multiplicando por 50 dá o resultado exato
\text{Custo total}=50\cdot\frac{200}{3\sqrt{3}}=\frac{10000}{3\sqrt{3}}\\ \text{reais}.

Passo 6

Passar para valor numérico aproximado e interpretar:
  • Calcule numericamente \dfrac{10000}{3\sqrt{3}}. Usando \sqrt{3}\approx1,73205 obtemos
\frac{10000}{3\sqrt{3}}\approx 1924{,}50\\ \text{reais}.
  • Interpretação: como o produto acabou antes de 12 meses (aprox. aos 5,77 meses), o dono da firma paga armazenamento somente enquanto havia produto; o valor total pago ao dono do armazém após um ano é aproximadamente R\$\,1924{,}50.

Resposta

\text{R\$}\dfrac{10000}{3\sqrt{3}}\approx \text{R\$ }1924{,}50

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