Um artigo publicado no Journal of National Cancer Institute (Breast Cancer Screening Policies in Developing Countries: A Cost-Effectiveness Analysis for India, 2008, Vol. 100(18), pp. 1290-1300) apresentou um modelo de análise exploratória de câncer de mama, baseado em dados da Índia. Nessa análise, o tempo no qual o caso de câncer de mama permanece em um estado pré-clínico é modelado por uma distribuição exponencial, com uma média dependente do estado. Por exemplo, o tempo em que um caso de câncer permanece no estado de T1C (tamanho do tumor de 11 a 20 mm ) é distribuído exponencialmente, com uma média de 1,48 ano.
Qual é a proporção de casos de câncer de mama na Índia que leva no mínimo um ano no estado de T1C?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um estudo de câncer de mama na Índia, onde o tempo que um caso de câncer fica no estado T1C (tumor de 11 a 20 mm) segue uma distribuição exponencial com uma média de 1,48 ano. A gente precisa descobrir qual a proporção desses casos que permanecem nesse estado por pelo menos um ano. Então, vamos usar conceitos de estatística, especificamente a distribuição exponencial, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição exponencial. Essa distribuição é usada para modelar o tempo até que um evento aconteça, nesse caso, o tempo que um câncer de mama fica no estado T1C antes de progredir. A média dessa distribuição é mu = 1,48 anos.

Passo 3

A fórmula da função de sobrevivência para a distribuição exponencial, que nos dá a probabilidade de o tempo ser maior ou igual a um certo valor $ t $, é:
t
Onde:
  • $ \lambda $ é a taxa de ocorrência, que é o inverso da média ( P(X >= t) = e^-lambda t ).
  • $ t $ é o tempo que queremos avaliar, que no nosso caso é 1 ano.

Passo 4

Vamos calcular $ \lambda $:
lambda

Passo 5

Agora, substituímos $ \lambda $ e $ t = 1 $ na fórmula da função de sobrevivência:
lambda

Passo 6

Vamos calcular o valor de $ e^{-0,6757} $. Usando uma calculadora ou uma ferramenta matemática:
e^-0,6757
Isso significa que há aproximadamente 50,9% de chance de um caso de câncer de mama permanecer no estado T1C por pelo menos um ano.

Resposta

A proporção de casos de câncer de mama na Índia que permanecem no estado T1C por no mínimo um ano é aproximadamente 50,9%.

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