Considere que a variável aleatória contínua
seja descrita pela seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.):
Com base nessa definição, resolva os itens a seguir:
Determine
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade dada por:
A questão pede para determinar a probabilidade $ \mathrm{P}\left(-\frac{\pi}{4} < X < \frac{\pi}{4}\right) $. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração da função densidade em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma variável aleatória contínua, a probabilidade de $ X $ estar entre dois valores $ a $ e $ b $ é dada pela integral da função densidade nesse intervalo:
Então, nosso objetivo é calcular:
Passo 3
Vamos resolver a integral:
A constante 0,5 pode ser colocada fora da integral:
A integral de $ \cos(x) $ é $ \sin(x) $, então:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função $ \sin(x) $ nos limites de integração:
Sabemos que $ \sin(-x) = -\sin(x) $, então:
Passo 5
Calculando o valor de $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $:
Resposta
A probabilidade $ \mathrm{P}\left(-\frac{\pi}{4} < X < \frac{\pi}{4}\right) $ é $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ ou aproximadamente 0,7071.