Considere que a variável aleatória contínua X seja descrita pela seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.):
f(x)= 0,5 cos (x), & se -pi2á
Com base nessa definição, resolva os itens a seguir:
Determine P(-pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade dada por:
X á
A questão pede para determinar a probabilidade $ \mathrm{P}\left(-\frac{\pi}{4} < X < \frac{\pi}{4}\right) $. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração da função densidade em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma variável aleatória contínua, a probabilidade de $ X $ estar entre dois valores $ a $ e $ b $ é dada pela integral da função densidade nesse intervalo:
X
Então, nosso objetivo é calcular:
a

Passo 3

Vamos resolver a integral:
integral-pi4^pi4 0,5 cos(x) , dx
A constante 0,5 pode ser colocada fora da integral:
0,5 integral-pi4^pi4 cos(x) , dx
A integral de $ \cos(x) $ é $ \sin(x) $, então:
cos(x)

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função $ \sin(x) $ nos limites de integração:
sin(x)
Sabemos que $ \sin(-x) = -\sin(x) $, então:
0,5 ( sin(pi4) - sin(-pi4) )

Passo 5

Calculando o valor de $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $:
sin(pi4)

Resposta

A probabilidade $ \mathrm{P}\left(-\frac{\pi}{4} < X < \frac{\pi}{4}\right) $ é $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ ou aproximadamente 0,7071.

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