- Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm . Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera. Volume da esfera: Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim construída é igual a quanto?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O problema fala sobre um artista que fez um cilindro com massa modeladora, com diâmetro de 24 cm e altura de 15 cm. Ele quer transformar esse cilindro em uma esfera sem perder massa, ou seja, mantendo o mesmo volume. Para resolver isso, a gente vai precisar usar as fórmulas de volume do cilindro e da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do cilindro. A fórmula para o volume de um cilindro é:
Onde:
- $ r $ é o raio da base do cilindro
- $ h $ é a altura do cilindro
Sabemos que o diâmetro do cilindro é 24 cm, então o raio $ r $ é metade disso:
E a altura $ h $ é 15 cm. Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume da esfera. A fórmula para o volume de uma esfera é:
Onde $ R $ é o raio da esfera que queremos encontrar.
Como a massa (e portanto o volume) é a mesma antes e depois da transformação, podemos igualar os dois volumes:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos dividir os dois lados por $ \pi $:
Agora, para isolarmos $ R^{3} $, multiplicamos ambos os lados por $ \frac{3}{4} $:
Passo 5
Por fim, para encontrar o raio $ R $, tiramos a raiz cúbica de 1620:
Resposta
O raio $ R $ da esfera é aproximadamente 11,75 cm.