A máxima tensão de cisalhamento nas arvores AB e CD vale 55 MPa Calcular:
a) O valor do momento \mathrm{C}_{0};
b) O diâmetro d de CD
c) Os ângulos de rotações de AB e CD sabendo que G=80 GPa

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (alguns dados foram obtidos da imagem fornecida).
Dados fornecidos:
  • A máxima tensão de cisalhamento nas árvores vale \tau_{\max}=55\\ \text{MPa}.
  • Diâmetro da árvore AB: \,d_{AB}=18\\ \text{mm}. (peguei este dado da imagem)
  • Comprimento da árvore AB entre A e B: \,L_{AB}=600\\ \text{mm}. (peguei este dado da imagem)
  • Comprimento da árvore CD entre C e D: \,L_{CD}=900\\ \text{mm}. (peguei este dado da imagem)
  • Raios (pulley/disco) usados para transmissão por correia (peguei estes valores da imagem):
    • raio do disco em B: \,r_B=20\\ \text{mm};
    • raio do disco em C: \,r_C=56\\ \text{mm}.
  • Módulo de cisalhamento: \,G=80\\ \text{GPa}.
O enunciado pede:
a) Calcular o momento aplicado em A (chamado \,C_0);
b) Calcular o diâmetro \,d da árvore CD;
c) Calcular os ângulos de rotação (torção) das árvores AB e CD sabendo G.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas e intuitivas):
  • Para um eixo circular submetido à torção, a máxima tensão de cisalhamento na superfície é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque (momento torçor) aplicado ao eixo (unidade N·m),
  • c é o raio do eixo (para diâmetro d, tem-se c=d/2),
  • J é o momento polar de inércia da seção circular, dado por
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • Substituindo c=d/2 em \tau_{\max}=\dfrac{T c}{J} e isolando T, obtemos a fórmula prática que usaremos muitas vezes:
T=\frac{\pi}{16}\,\tau_{\max}\,d^{3}.
Explicação curta: T cresce com o cubo do diâmetro — por isso aumentar pouco o diâmetro aumenta muito a resistência à torção.
  • Para o ângulo de torção de um eixo circular homogêneo e com torque constante ao longo do comprimento, usa-se:
\theta=\frac{T\,L}{G\,J}.
Substituindo J:
\theta=\frac{32\,T\,L}{G\,\pi\,d^{4}}.
Isto dá \theta em radianos quando SI (N·m, m, Pa) são usados.

Passo 3

Cálculo do momento na árvore AB (isto é C_0).
  • Usarei a fórmula \displaystyle T=\frac{\pi}{16}\,\tau_{\max}\,d^{3}.
  • Para a árvore AB: \tau_{\max}=55\\ \text{MPa}=55\times10^{6}\\ \text{Pa} e d_{AB}=18\\ \text{mm}=0{,}018\\ \text{m} (peguei d_{AB} da imagem).
  • Calculemos passo a passo:
d_{AB}^{3}=(0{,}018)^{3}=5{,}832\times10^{-6}\\ \text{m}^3.
T_{AB}=C_0=\frac{\pi}{16}\cdot(55\times10^{6})\cdot(5{,}832\times10^{-6}).
Agora numérico:
T_{AB}= \frac{\pi}{16}\cdot 320{,}76 \approx \frac{1007{,}6}{16}\approx 62{,}98\\ \text{N·m}.
Portanto \,C_0\approx 62{,}98\\ \text{N·m}.

Passo 4

Relação de torques entre as árvores via discos (transmissão por correia).
  • Pela imagem, a correia transmite uma força tangencial F igual nos dois discos. O torque no disco é T=F\cdot r.
  • Assim:
T_{C}=F\,r_C,\qquad T_{B}=F\,r_B \;\Rightarrow\; \frac{T_{C}}{T_{B}}=\frac{r_C}{r_B}.
  • Peguei r_B=20\\ \text{mm} e r_C=56\\ \text{mm} da imagem. Então
\frac{T_{C}}{T_{B}}=\frac{56}{20}=2{,}8.
  • Logo o torque na árvore CD (que chamo T_{CD}) é
T_{CD}=2{,}8\;T_{AB}=2{,}8\cdot 62{,}98\approx 176{,}34\\ \text{N·m}.

Passo 5

Determinar o diâmetro \,d da árvore CD a partir da condição de tensão máxima \tau_{\max}=55\\ \text{MPa}.
  • Usamos a mesma fórmula inversa:
T_{CD}=\frac{\pi}{16}\,\tau_{\max}\,d^{3}\quad\Rightarrow\quad d^{3}=\frac{16\,T_{CD}}{\pi\,\tau_{\max}}.
  • Substituindo T_{CD}=176{,}34\\ \text{N·m} e \tau_{\max}=55\times10^{6}\\ \text{Pa}:
d^{3}=\frac{16\cdot 176{,}34}{\pi\cdot 55\times10^{6}}.
Calcule:
d^{3}\approx 1{,}633\times10^{-5}\\ \text{m}^3.
Tirando a raiz cúbica:
d\approx 0{,}02536\\ \text{m}=25{,}36\\ \text{mm}.
Arredondando de modo prático, d\approx 25{,}4\\ \text{mm}.

Passo 6

Cálculo dos ângulos de rotação \theta_{AB} e \theta_{CD} usando \displaystyle \theta=\frac{32\,T\,L}{G\,\pi\,d^{4}}.
Primeiro, prepare constantes:
  • G=80\\ \text{GPa}=80\times10^{9}\\ \text{Pa}.
  • Comprimentos (peguei da imagem): L_{AB}=600\\ \text{mm}=0{,}6\\ \text{m}; L_{CD}=900\\ \text{mm}=0{,}9\\ \text{m}.
  • Já temos T_{AB}=62{,}98\\ \text{N·m}, d_{AB}=0{,}018\\ \text{m}; T_{CD}=176{,}34\\ \text{N·m}, d_{CD}=0{,}02536\\ \text{m}.
Calcule d_{AB}^{4} e d_{CD}^{4}:
d_{AB}^{4}=(0{,}018)^{4}=1{,}04976\times10^{-7}\\ \text{m}^4,
d_{CD}^{4}=(0{,}02536)^{4}\approx 4{,}137\times10^{-7}\\ \text{m}^4.
Agora \theta_{AB}:
\theta_{AB}=\frac{32\cdot 62{,}98\cdot 0{,}6}{80\times10^{9}\cdot\pi\cdot 1{,}04976\times10^{-7}}.
Calculando numericamente obtemos
\theta_{AB}\approx 0{,}04586\\ \text{rad}\approx 2{,}63^\circ.
Agora \theta_{CD}:
\theta_{CD}=\frac{32\cdot 176{,}34\cdot 0{,}9}{80\times10^{9}\cdot\pi\cdot 4{,}137\times10^{-7}}.
Numericamente:
\theta_{CD}\approx 0{,}04889\\ \text{rad}\approx 2{,}80^\circ.

Passo 7

Breve interpretação final (motivacional e prática):
  • O momento aplicado C_0 que produz \tau_{\max}=55\\ \text{MPa} na árvore de diâmetro 18\\ \text{mm} é da ordem de algumas dezenas de N·m.
  • A árvore que recebe torque maior (devido ao disco maior) precisa de diâmetro bem maior (aqui \approx25{,}4\\ \text{mm}) para manter a mesma tensão de cisalhamento.
  • Os ângulos de torção são pequenos (alguns graus), mas são calculáveis diretamente pela fórmula mostrada.

Resposta

a) C_0 \approx 62{,}98\\ \text{N·m}
b) d \approx 25{,}36\\ \text{mm} (aprox. 25{,}4\\ \text{mm})
c) \theta_{AB}\approx 0{,}04586\\ \text{rad}\approx 2{,}63^\circ
\theta_{CD}\approx 0{,}04889\\ \text{rad}\approx 2{,}80^\circ

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