A máxima tensão de cisalhamento nas arvores AB e CD vale 55 MPa Calcular:
a) O valor do momento
;
b) O diâmetro d de CD
c) Os ângulos de rotações de AB e CD sabendo que G=80 GPa
a) O valor do momento
b) O diâmetro d de CD
c) Os ângulos de rotações de AB e CD sabendo que G=80 GPa
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (alguns dados foram obtidos da imagem fornecida).
Dados fornecidos:
- A máxima tensão de cisalhamento nas árvores vale
. - Diâmetro da árvore
: . (peguei este dado da imagem) - Comprimento da árvore
entre e : . (peguei este dado da imagem) - Comprimento da árvore
entre e : . (peguei este dado da imagem) - Raios (pulley/disco) usados para transmissão por correia (peguei estes valores da imagem):
- raio do disco em
: ; - raio do disco em
: .
- raio do disco em
- Módulo de cisalhamento:
.
O enunciado pede:
a) Calcular o momento aplicado em (chamado
);
b) Calcular o diâmetro da árvore
;
c) Calcular os ângulos de rotação (torção) das árvores e
sabendo
.
a) Calcular o momento aplicado em
b) Calcular o diâmetro
c) Calcular os ângulos de rotação (torção) das árvores
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas e intuitivas):
- Para um eixo circular submetido à torção, a máxima tensão de cisalhamento na superfície é dada por
onde:
-
é o torque (momento torçor) aplicado ao eixo (unidade N·m), -
é o raio do eixo (para diâmetro , tem-se ), -
é o momento polar de inércia da seção circular, dado por
- Substituindo
em e isolando , obtemos a fórmula prática que usaremos muitas vezes:
Explicação curta:
cresce com o cubo do diâmetro — por isso aumentar pouco o diâmetro aumenta muito a resistência à torção.
- Para o ângulo de torção de um eixo circular homogêneo e com torque constante ao longo do comprimento, usa-se:
Substituindo
:
Isto dá
em radianos quando SI (N·m, m, Pa) são usados.
Passo 3
Cálculo do momento na árvore
(isto é
).
- Usarei a fórmula
. - Para a árvore
: e (peguei da imagem). - Calculemos passo a passo:
Agora numérico:
Portanto
Passo 4
Relação de torques entre as árvores via discos (transmissão por correia).
- Pela imagem, a correia transmite uma força tangencial
igual nos dois discos. O torque no disco é . - Assim:
- Peguei
e da imagem. Então
- Logo o torque na árvore
(que chamo ) é
Passo 5
Determinar o diâmetro
da árvore
a partir da condição de tensão máxima
.
- Usamos a mesma fórmula inversa:
- Substituindo
e :
Calcule:
Tirando a raiz cúbica:
Arredondando de modo prático,
.
Passo 6
Cálculo dos ângulos de rotação
e
usando
.
Primeiro, prepare constantes:
-
. - Comprimentos (peguei da imagem):
; . - Já temos
, ; , .
Calcule
e
:
Agora
:
Calculando numericamente obtemos
Agora
:
Numericamente:
Passo 7
Breve interpretação final (motivacional e prática):
- O momento aplicado
que produz na árvore de diâmetro é da ordem de algumas dezenas de N·m. - A árvore que recebe torque maior (devido ao disco maior) precisa de diâmetro bem maior (aqui
) para manter a mesma tensão de cisalhamento. - Os ângulos de torção são pequenos (alguns graus), mas são calculáveis diretamente pela fórmula mostrada.
Resposta
a)
b)
(aprox.
)
c)