A asa está fixa na fuselagem do avião em x=0 e livre na extremidade x=\mathrm{L}. Se a força externa contínua do vento estabelecer uma onda estacionária nessa estrutura:
  • Descreva o comportamento físico dos pontos da asa localizados exatamente em x=0 (fuselagem) e em x=\mathrm{L} (ponta da asa).
  • Explique onde a concentração de estresse mecânico (tensão interna no material) será maior e por que apresenta maior risco de deformação visual.

Passo 1

O enunciado dá estas condições (sem mais números): a asa está presa rigidamente à fuselagem em x=0 (suporte engastado / “clamped”) e a extremidade em x=\mathrm{L} é livre. Uma força do vento estabelece uma onda estacionária (ou seja, vibração em modo estacionário) nessa estrutura. As perguntas são duas e claras:
  • Descrever o comportamento físico dos pontos exatamente em x=0 e em x=\mathrm{L}.
  • Explicar onde a concentração de estresse mecânico (tensão interna) será maior e por que isso apresenta maior risco de deformação visual.
Vou assumir comportamento elástico linear pequeno (teoria da viga de Euler–Bernoulli), apropriado para explicar qualitativamente vibrações e distribuição de tensões numa asa idealizada como viga em balanço (cantilever).

Passo 2

O que significa “engastado” em x=0 (fuselagem) — condições físicas e matemáticas:
  • Condições de contorno: em x=0 a viga não se desloca transverseamente e não gira. Em linguagem matemática:
w(0)=0,\qquad w'(0)=0,
onde w(x) é a deflexão transversal da seção em função de x, e w' é a derivada em relação a x (inclinação/rotaçao da seção).
  • Interpretação física: o ponto em x=0 está “preso”: deslocamento transversal zero e ângulo da seção fixo. A fuselagem fornece reações internas (força cortante e momento fletor) grandes, que equilibram as cargas vindas da asa.
  • Consequência dinâmica: em modos estacionários (modos normais) esse ponto é um nodo de deslocamento (amplitude zero). Mesmo que o resto da asa oscile, a raiz fica praticamente imóvel (em deslocamento) por estar engastada.

Passo 3

O que significa “livre” em x=\mathrm{L} (ponta da asa) — condições físicas e matemáticas:
  • Condições de contorno para extremidade livre na teoria de Euler–Bernoulli:
M(\mathrm{L})=0\quad\Longrightarrow\quad w''(\mathrm{L})=0, \qquad V(\mathrm{L})=0\quad\Longrightarrow\quad w'''(\mathrm{L})=0,
onde M(x) é o momento fletor, V(x) é a força cortante, e para uma viga M(x)=-EI\,w''(x) (ver passo 4).
  • Interpretação física: na ponta não há momento nem corte internal gerados por apoios externos; a ponta pode deslocar-se livremente e ter inclinação não nula. Em modos normais de um cantilever, a ponta costuma ser um antinodo de deslocamento (amplitude máxima).
  • Consequência dinâmica: a ponta frequentemente tem a maior amplitude de movimento (maior w), portanto é a parte que mais se movimenta visualmente durante a onda estacionária.

Passo 4

Relação entre curvatura, momento e tensão (ferramenta básica que vamos usar) — uma “aula rápida” para você levar pra prova:
  • Teoria de Euler–Bernoulli (pequenas deflexões): a curvatura da viga está ligada ao momento fletor por
M(x)=EI\,\kappa(x)\approx -EI\,w''(x),
onde:
  • E é o módulo de elasticidade do material (rigidez longitudinal),
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro,
  • \kappa(x) é a curvatura; para pequenas deflexões \kappa\approx -w''(x),
  • w''(x) é a segunda derivada de w em relação a x.
  • Bending stress (tensão de flexão) na fibra a distância y do eixo neutro:
\sigma_{xx}(x,y)=\frac{M(x)\,y}{I}.
A tensão máxima na seção (fibra mais externa, y=c) é
\sigma_{\max}(x)=\frac{|M(x)|\,c}{I},
onde c é a distância da linha neutra até a fibra mais externa.
  • Interpretação: a tensão de flexão é proporcional ao momento fletor local M(x) e cresce com “alavanca” c. Portanto colocar material extra (maior I ou reduzir c) reduz tensão.

Passo 5

Exemplo simples e muito didático para visualizar por que o root (raiz) concentra tensão: carga pontual na ponta
  • Considere uma carga estática P aplicada na ponta x=L. No regime estático simples a distribuição de momento é
M(x)=P(\mathrm{L}-x).
  • Então o momento máximo ocorre em x=0 e vale M_{\max}=P\mathrm{L}. Pela fórmula da tensão:
\sigma_{\max}(0)=\frac{P\mathrm{L}\,c}{I},
que é maior que qualquer \sigma_{\max}(x) para x>0. Mesmo sem uma carga concentrada, distribuições de carga (pressão do vento) e modos vibratórios geram momentos grandes próximos ao engaste porque a condição w(0)=w'(0)=0 força curvaturas elevadas ali.
  • Para a vibração (onda estacionária) a lógica é análoga: os modos têm formas w_n(x) com curvaturas w_n''(x) grandes próximas ao engaste; assim M(x)=-EI\,w_n''(x) tende a ser máximo perto de x=0.

Passo 6

Conclusão sobre onde a tensão mecânica é maior e por quê (físico e prático):
  • A concentração de estresse mecânico será maior na raiz da asa, próxima a x=0. Por quê: o momento fletor (que gera as tensões de flexão) atinge o valor máximo no engaste — fisicamente a raiz faz o equilíbrio de toda “alavanca” da carga distribuída e das inércias dinâmicas da asa. Em linguagem simples: a raiz é a alavanca curta onde as forças de toda a asa se somam, gerando maior momento.
  • Risco associado: elevadas tensões cíclicas perto da raiz são o local típico de início de fadiga, trincas e eventual deformação plástica local. Portanto, estruturalmente, o maior risco de dano permanente (e de falha) é na região próxima ao engaste.

Passo 7

O que aparece visualmente (diferença entre tensão máxima e deformação visível) — não confundir:
  • A ponta x=\mathrm{L} costuma ter a maior amplitude de deslocamento w(\mathrm{L}) (é o antinodo): isso causa a maior “deformação visual” instantânea — você vai ver a ponta balançando muito.
  • Contudo, a maior tensão (e o maior risco de dano estrutural e deformação permanente) está na raiz x=0. Assim existe uma diferença importante: a ponta mostra o maior movimento, mas a raiz sofre as maiores tensões internas. Em termos práticos: o que você vê (ponta ondulando) não é necessariamente onde a peça vai quebrar primeiro (raiz).
  • Adicional: mesmo que a ponta não sofra tensões de flexão tão grandes quanto a raiz, seu grande deslocamento pode causar problemas locais (ex.: colisão com flaps, cargas aeroelásticas adicionais), mas a falha por fadiga/plástico costuma iniciar na região de maior tensão, ou seja, perto do engaste.

Passo 8

Observações práticas e de projeto (dicas rápidas para prova e engenharia):
  • Por isso, em projeto aeronáutico reforça-se a raiz com reforços, maiores seções, transições suaves (fillets) e inspeciona-se frequentemente a raiz por trincas de fadiga.
  • Medidas para reduzir tensão: aumentar I (espessura, geometria), usar materiais com maior E ou maior resistência, reduzir c, ou reduzir cargas (controle aeroelástico, amortecimento).
  • Em análise vibracional use modos normais e calcule M(x)=-EI\,w_n''(x) e \sigma_{\max}(x)=\dfrac{|M(x)|c}{I} para ver onde as tensões máximas aparecem em cada modo.

Resposta

Em x=0: deslocamento transversal w(0)=0 e rotação w'(0)=0 (ponto engastado); a raiz suporta as maiores reações internas (momento fletor e força cortante) e, portanto, concentra as tensões máximas internas.
Em x=\mathrm{L}: momento e corte nulos ( M(\mathrm{L})=0,\\ V(\mathrm{L})=0, equivalente a w''(\mathrm{L})=w'''(\mathrm{L})=0); é normalmente o antinodo do modo com a maior amplitude de deslocamento (a ponta se desloca mais e é a mais visivelmente móvel).
Concentração de tensão e risco de dano: a maior concentração de tensão está perto da raiz x=0 porque o momento fletor (proporcional a -EI\,w''(x)) tende a ser máximo ali; por isso a raiz tem maior risco de iniciar fadiga, trinca ou deformação permanente, embora a deformação geométrica visual mais evidente ocorra na ponta devido à maior amplitude de deslocamento.

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