Questão 6 - Uma corda, presa pelas duas extremidades tem 3 m de comprimento. Ela ressoa em seu terceiro harmônico com uma frequência de 60 Hz . O comprimento de onda e a velocidade da onda na corda serão respectivamente:
3 \mathrm{~m} ; 180 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
2 \mathrm{~m} ; 120 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
4 \mathrm{~m} ; 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
0,66 \mathrm{~m} ; 181,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento da corda: L = 3\\ \mathrm{m}.
    • A corda ressoa no terceiro harmônico, portanto n = 3.
    • Frequência do terceiro harmônico: f = 60\\ \mathrm{Hz}.
  • O que o exercício pede:
    • Determinar o comprimento de onda \lambda da onda na corda.
    • Determinar a velocidade da onda v na corda.

Passo 2

Entendendo a condição de harmônicos numa corda presa nas duas extremidades (explicação didática):
Quando a corda está fixa nas duas extremidades, essas extremidades são nós (pontos de deslocamento zero). Numa onda estacionária formada na corda, a distância entre dois nós consecutivos é \dfrac{\lambda}{2}. Para o n-ésimo harmônico a corda contém n meias-ondas ao longo do comprimento L. Assim vale a relação
L = n\cdot\frac{\lambda}{2}.
Aqui:
  • L é o comprimento da corda (em metros),
  • n é o número do harmônico (n = 1,2,3,…),
  • \lambda é o comprimento de onda (em metros).

Passo 3

Isolando \lambda na relação acima obtemos a fórmula prática para o comprimento de onda no n-ésimo harmônico:
\lambda = \frac{2L}{n}.
Agora substituímos os valores dados: L = 3\\ \mathrm{m} e n = 3,
\lambda = \frac{2\cdot 3}{3} = 2\\ \mathrm{m}.
Logo o comprimento de onda é \lambda = 2\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda (aula curta):
Para qualquer onda periódica que se propaga, a velocidade v é o produto da frequência f pelo comprimento de onda \lambda:
v = f\lambda.
Aqui:
  • v é a velocidade de propagação (em \mathrm{m/s}),
  • f é a frequência (em \mathrm{Hz}),
  • \lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m}).

Passo 5

Calculemos a velocidade usando f = 60\\ \mathrm{Hz} e \lambda = 2\\ \mathrm{m}:
v = f\lambda = 60\cdot 2 = 120\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Verificação alternativa (mesma ideia, só reorganizada): a partir da fórmula dos harmônicos pode-se também escrever
v = \frac{2Lf}{n},
e substituindo L=3\\ \mathrm{m}, f=60\\ \mathrm{Hz}, n=3 obtém-se
v = \frac{2\cdot 3\cdot 60}{3} = 120\\ \mathrm{m/s},
confirmando o resultado anterior. Força aí: dá para aplicar essa fórmula direto na prova.

Resposta

\lambda = 2\\ \mathrm{m}
v = 120\\ \mathrm{m/s}

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