Um reservatório elevado descarrega água horizontalmente por uma abertura situada a 18 m do solo. A água sai com velocidade horizontal de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
a) o tempo necessário para a água atingir o solo;
b) o alcance horizontal do jato;
c) o módulo da velocidade de impacto;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Dados fornecidos:
    • Altura do orifício em relação ao solo: h=18\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade de saída horizontal: u_x=12\\ \mathrm{m/s}.
    • A água sai horizontalmente, portanto a velocidade vertical inicial é u_y=0.
    • Considera-se a aceleração da gravidade g (vou adotar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}).
  • O que é pedido:
    a) o tempo necessário para a água atingir o solo;
    b) o alcance horizontal do jato (distância horizontal desde a saída até o ponto de impacto);
    c) o módulo da velocidade de impacto com o solo.

Passo 2

Ideia física e formulas básicas (explicação didática e intuitiva).
Quando um corpo é lançado horizontalmente, o movimento pode ser separado em duas direções independentes:
  • Horizontal: movimento retilíneo uniforme, sem aceleração (se desprezarmos resistência do ar). A velocidade horizontal permanece constante e igual a u_x.
  • Vertical: queda livre sob a ação da gravidade, com aceleração para baixo igual a g.
As fórmulas fundamentais que vamos usar são:
  • Para a queda vertical (deslocamento vertical igual a h):
h=\tfrac{1}{2}\,g\,t^2,
onde t é o tempo de queda. Aqui h é a distância vertical percorrida até o solo, g é a aceleração da gravidade e t é o tempo — todas as letras representam grandezas numéricas conhecidas ou a determinar.
  • Para o alcance horizontal x, como a velocidade horizontal é constante:
x = u_x\,t.
  • A velocidade vertical no instante do impacto é dada por
v_y = u_y + g\,t.
  • O módulo da velocidade total no impacto (combinação das componentes) obtém‑se por Pitágoras:
v = \sqrt{u_x^{2} + v_y^{2}}.
Vou usar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular o tempo de queda t usando a equação da queda livre.
Partindo de
h=\tfrac{1}{2}\,g\,t^2,
isolamos t:
t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
Substituindo h=18\\ \mathrm{m} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}:
\dfrac{2h}{g}=\dfrac{2\cdot 18}{9,8}=\dfrac{36}{9,8}=3{,}673469\ldots
t=\sqrt{3{,}673469\ldots}=1{,}9166\ldots\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) obtemos t\approx 1{,}92\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular o alcance horizontal x.
Usamos
x = u_x\,t.
Substituindo u_x=12\\ \mathrm{m/s} e o tempo encontrado t\approx 1{,}9166\ldots\\ \mathrm{s}:
x = 12 \times 1{,}9166\ldots = 23{,}000\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando, x\approx 23{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a componente vertical da velocidade no impacto v_y.
Usando
v_y = u_y + g\,t,
e lembrando que u_y=0:
v_y = 0 + 9{,}8\times 1{,}9166\ldots = 18{,}788\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade vertical no impacto tem módulo aproximadamente 18{,}79\\ \mathrm{m/s} e direção para baixo.

Passo 6

Calcular o módulo da velocidade total no impacto v.
A velocidade horizontal permanece u_x=12\\ \mathrm{m/s}. Usando Pitágoras:
v = \sqrt{u_x^{2} + v_y^{2}}.
Uma forma mais elegante (e que evita pequenos erros de arredondamento) é usar a relação cinemática v_y^{2}=u_y^{2}+2gh com u_y=0, obtendo
v = \sqrt{u_x^{2} + 2\,g\,h}.
Substituindo os valores:
v = \sqrt{12^{2} + 2\cdot 9{,}8 \cdot 18} = \sqrt{144 + 352{,}8} = \sqrt{496{,}8}.
v \approx 22{,}29\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (sem repetir os resultados numéricos finais): tempo obtido pela fórmula da queda livre, alcance pela velocidade horizontal constante multiplicada pelo tempo, e velocidade de impacto pela combinação das componentes (ou diretamente por v=\sqrt{u_x^{2}+2gh}).

Resposta

t\approx 1{,}92\\ \mathrm{s}
x\approx 23{,}0\\ \mathrm{m}
v\approx 22{,}29\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados