Um aspecto importante do serviço de manutenção de programas numa empresa tem a ver com a velocidade (presteza) com que uma chamada de serviço (de manutenção) é atendida. Historicamente, numa determinada empresa, observa-se que as chances são de \mathbf{5 0 \%} de que uma chamada seja atendida num período inferior a 1 hora. Se 5 chamadas de manutenção são realizadas nessa empresa, assinale a opção que dá a probabilidade de que pelo menos 3 chamadas sejam atendidas em menos de 1 hora.
\bigcirc a. \mathbf{7 5 \%}
\bigcirc b. 25%
\bigcirc c. 37,5%
\bigcirc d. 50%
\bigcirc e. 30%

Passo 1

O enunciado dá que a chance de uma chamada ser atendida em menos de 1 hora é de 50\%. Foram feitas 5 chamadas independentes. A pergunta é: qual a probabilidade de que pelo menos 3 chamadas sejam atendidas em menos de 1 hora?
Informações relevantes dadas: n=5 chamadas, probabilidade de sucesso em cada chamada p=50\%=\(0,5), e queremos P(X \ge 3), onde X é o número de chamadas atendidas em menos de 1 hora.

Passo 2

Modelagem do problema: como temos várias tentativas independentes com mesma probabilidade de sucesso, usamos a distribuição binomial. Definimos a variável aleatória X como o número de “sucessos” (chamadas atendidas em menos de 1 hora) entre as 5 tentativas. Escrevemos isso como X \sim \text{Binomial}(n=5,p=0,5). Aqui n é o número de tentativas e p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 3

Fórmula da distribuição binomial: a probabilidade exata de ocorrerem exatamente k sucessos é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada parte: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k tentativas serão sucessos (combinações), p^{k} é a probabilidade de ocorrer sucesso nas k escolhidas, e (1-p)^{n-k} é a probabilidade de falha nas restantes. A combinação é calculada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.

Passo 4

Queremos P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5). Como p=0,5 e 1-p=0,5, para qualquer k temos p^{k}(1-p)^{n-k}=(0,5)^5. Calculamos (0,5)^5:
(0,5)^5 = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}.

Passo 5

Calculemos as combinações necessárias:
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2}= \frac{20}{2}=10,
\binom{5}{4}=\frac{5!}{4!1!}=5,
\binom{5}{5}=\frac{5!}{5!0!}=1.

Passo 6

Agora cada probabilidade:
P(X=3)=\binom{5}{3}\,(0,5)^5 = 10\cdot\frac{1}{32}=\frac{10}{32},
P(X=4)=\binom{5}{4}\,(0,5)^5 = 5\cdot\frac{1}{32}=\frac{5}{32},
P(X=5)=\binom{5}{5}\,(0,5)^5 = 1\cdot\frac{1}{32}=\frac{1}{32}.
Somando:
P(X\ge 3)=\frac{10}{32}+\frac{5}{32}+\frac{1}{32}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}.
Em porcentagem isso é 50\%.

Passo 7

Checagem rápida por complemento (opcional): P(X\ge3)=1-P(X\le2). Como P(X\le2)=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}, obtemos o mesmo resultado P(X\ge3)=\frac{1}{2}=50\%. Bom sinal: resultado confirmado.

Resposta

d. 50\%

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