Questão 4
Suponha que as pessoas se dirijam ao caixa de um mercado de acordo com um processo Poisson com taxa média de \mathbf{2} clientes por minuto. A probabilidade de que, num intervalo de \mathbf{3} minutos, no máximo dois clientes se dirijam ao caixa é dada por:
\bigcirc a. 18 e^{-2}
\bigcirc b. 5 e^{-2}
\bigcirc c. 25 e^{-6}
\bigcirc d. 18 e^{-6}
\bigcirc e. 12 e^{-2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta: \n
  • Taxa média de chegada: \;2\; clientes por minuto. \n
  • Intervalo de tempo considerado: \;3\; minutos. \n
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que, em \;3\; minutos, cheguem no máximo dois clientes ao caixa? (ou seja, P(N \le 2) para o número de clientes N nesse intervalo).

Passo 2

Entendendo o que usar e as fórmulas (aulas rápidas): \n
Quando temos chegadas segundo um processo de Poisson com taxa constante, o número de chegadas em um intervalo de comprimento \;t\; segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda dado por \lambda = (\text{taxa})\times(\text{tempo}). Aqui a taxa é \;2\; clientes/min e o tempo é \;3\; min, então \lambda = 2\cdot 3. \n
A fórmula da massa de probabilidade da Poisson é: \n
P(N=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde \;N\; é o número de eventos (clientes) no intervalo, \;k\in\{0,1,2,\dots\}\;, \lambda>0 é a média esperada no intervalo, e é a constante de Euler e k! é o fatorial de k (por exemplo 0!=1,\;1!=1,\;2!=2). \n
Aqui vamos precisar de P(N\le 2)=P(N=0)+P(N=1)+P(N=2).

Passo 3

Calcular \lambda e cada termo: \n
\lambda = 2\cdot 3 = 6. \n
Agora os termos da soma: \n
  • Para k=0: \displaystyle P(N=0)=e^{-6}\frac{6^{0}}{0!}=e^{-6}\cdot\frac{1}{1}=e^{-6}. \n
  • Para k=1: \displaystyle P(N=1)=e^{-6}\frac{6^{1}}{1!}=e^{-6}\cdot\frac{6}{1}=6\,e^{-6}. \n
  • Para k=2: \displaystyle P(N=2)=e^{-6}\frac{6^{2}}{2!}=e^{-6}\cdot\frac{36}{2}=18\,e^{-6}.

Passo 4

Somar os termos para obter P(N\le 2): \n
P(N\le 2)=e^{-6}+6\,e^{-6}+18\,e^{-6}=(1+6+18)\,e^{-6}=25\,e^{-6}.

Passo 5

Interpretação rápida e dica de prova: \n
A resposta está na forma C\,e^{-6} com C=25. Em prova, calcule primeiro \lambda, depois aplique a fórmula da Poisson e, se for “no máximo m”, some de k=0 até k=m. Respira fundo — deu tudo certo!

Resposta

c. 25 e^{-6}

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