Assim, para que (mu M)y seja igual a (mu N)x, é necessário que
d mud x=My-NxN mu
Se(My-Nx) / N depende apenas de x, então existe um fator integrante mu que depende, também, só de x; além disso, mu(x) pode

Exemplo 4

Encontre um fator integrante para a equação
(3 x y+y^2)+(x^2+x y) y^prime=0
e, depois, resolva a equação.
Mostramos, no Exemplo 3, que essa equação não é exata. Vamos verificar se existe um fator integrante que depende apenas de x. Calculando a quantidade (My-Nx) / N, encontramos que
My(x, y)-Nx(x, y)N(x, y)=3 x+2 y-(2 x+y)x^2+x y=1x.
Logo, existe um fator integrante mu que é função só de x e que satisfaz a equação diferencial
d mud x=mux

Passo 1

O enunciado pede um fator integrante mu(x) que dependa só de x para a ODE
(3xy + y^2) + (x^2 + xy),y' = 0
Aqui identificamos
M(x,y)=3xy+y^2, N(x,y)=x^2+xy
A equação não é exata, então vamos buscar mu(x).

Passo 2

Calculamos
My - NxN =(3x+2y)-(2x+y)x^2+xy =1x,
que depende só de x. Logo mu satisfaz
dmudx=1x,mu
Integrando, obtemos
mu(x)=e^integral1x,dx=x
(podemos desprezar a constante multiplicativa).

Passo 3

Multiplicamos a ODE original por mu(x)=x. Obtém-se
tilde M(x,y)=x(3xy+y^2)=3x^2y+xy^2,
tilde N(x,y)=x(x^2+xy)=x^3+x^2y
Verificamos
tilde My=3x^2+2xy, tilde Nx=3x^2+2xy,
logo a nova equação é exata.

Passo 4

Procuramos Psi(x,y) tal que Psix=tilde M. Integramos em x:
Psi(x,y)=integral(3x^2y+xy^2),dx = yx^3+y^2x^22+h(y),
onde h(y) é função só de y.

Passo 5

Para achar h(y), usamos Psiy=tildeN:
Psiy = x^3 + y x^2 + h'(y) stackrel!= x^3 + x^2 y,
de onde h'(y) = 0 e h(y) = C. Assim
Psi(x,y) = x^3 y + x^2 y^22 = C

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
x^3y+x^2y^22=C,
ou, equivalentemente,
2x^3y+x^2y^2=C',
onde C (ou C') é constante de integração.

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