Assim, para que
seja igual a
, é necessário que
depende apenas de
, então existe um fator integrante
que depende, também, só de
; além disso,
pode
Exemplo 4
Encontre um fator integrante para a equação
e, depois, resolva a equação.
Mostramos, no Exemplo 3, que essa equação não é exata. Vamos verificar se existe um fator integrante que depende apenas de
. Calculando a quantidade
, encontramos que
.
Logo, existe um fator integrante
que é função só de
e que satisfaz a equação diferencial
Mostramos, no Exemplo 3, que essa equação não é exata. Vamos verificar se existe um fator integrante que depende apenas de
Logo, existe um fator integrante
Passo 1
O enunciado pede um fator integrante
que dependa só de
para a ODE
Aqui identificamos
A equação não é exata, então vamos buscar
.
Passo 2
Calculamos
que depende só de
. Logo
satisfaz
Integrando, obtemos
(podemos desprezar a constante multiplicativa).
Passo 3
Multiplicamos a ODE original por
. Obtém-se
Verificamos
logo a nova equação é exata.
Passo 4
Procuramos
tal que
. Integramos em
:
onde
é função só de
.
Passo 5
Para achar
, usamos
:
de onde
e
. Assim
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
ou, equivalentemente,
onde
(ou
) é constante de integração.