Encontre um fator integrante para a equação
e, depois, resolva a equação.
(16) }(x \ln y+x y) d x+(y \ln x+x y) d y=0 ; \quad x>0, \quad y>0
e, depois, resolva a equação.
(16) }(x \ln y+x y) d x+(y \ln x+x y) d y=0 ; \quad x>0, \quad y>0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com
e pede um fator integrante e a solução geral. Verificamos que não é exata pois
e essas derivadas não coincidem.
Passo 2
Tentamos o fator integrante do tipo
. Multiplicando a equação original por
obtemos
Passo 3
Reescrevemos a soma dos dois termos como uma diferencial exata. Note que
e
Logo a equação fica
Passo 4
Da diferencial exata temos a função de primeira integral
cuja diferencial é zero. Logo a solução geral é
com
constante arbitrária.
Resposta
Fator integrante:
.
Solução geral:
Solução geral: