Encontre um fator integrante para a equação
e, depois, resolva a equação.
(16) }(x \ln y+x y) d x+(y \ln x+x y) d y=0 ; \quad x>0, \quad y>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0,
com
M(x,y)=xln y + x y, N(x,y)=yln x + x y,
e pede um fator integrante e a solução geral. Verificamos que não é exata pois
partial Mpartial y =xy+x, partial Npartial x =yx+y,
e essas derivadas não coincidem.

Passo 2

Tentamos o fator integrante do tipo mu(x,y)=tfrac1xy. Multiplicando a equação original por tfrac1xy obtemos
l(ln yy+1r),dx + l(ln xx+1r),dy =0

Passo 3

Reescrevemos a soma dos dois termos como uma diferencial exata. Note que
ln yy,dx + ln xx,dy = dl(ln x;ln yr),
e
dx+dy=d(x+y)
Logo a equação fica
d(x+y)+dl(ln x;ln yr)=0 ;;Longrightarrow;; dl(x+y+ln x;ln yr)=0

Passo 4

Da diferencial exata temos a função de primeira integral
F(x,y)=x+y+ln x;ln y,
cuja diferencial é zero. Logo a solução geral é
x+y+ln x;ln y=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

Fator integrante: mu(x,y)=1xy.
Solução geral:
x + y + ln x ;ln y = C

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