onde
é a temperatura absoluta do corpo no instante
é a temperatura absoluta do ambiente e
é uma constante que depende dos parâmetros físicos corpo. No entanto, se
é muito maior do que
, então as soluções da Eq. (i) podem ser bem aproximadas pelas soluções da equação mais simples
Suponha que um corpo com temperatura inicial de
está imerso em um meio à temperatura de
e que
.
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (ii).
(b) Faça o gráfico de
em função de
.
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (ii).
(b) Faça o gráfico de
Passo 1
O enunciado nos diz que, quando
, a equação que governa o resfriamento do corpo é
onde
é a temperatura absoluta do corpo no instante
,
e a condição inicial é
O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial ordinária separável.
Passo 2
Vamos separar variáveis e integrar. Escrevemos
Integrando dos dois lados, temos
onde
é constante de integração.
Passo 3
Reescrevendo
com
. Para
e
, obtemos
logo
Passo 4
Substituindo
na solução, vem
Logo a solução explícita é
Passo 5
O gráfico de
em função de
parte de
,K e decresce rapidamente no início (porque o termo
domina) e vai caindo cada vez mais lentamente à medida que
cresce, aproximando-se de zero quando
.
Resposta
(a)
(b) O gráfico é uma curva decrescente convexa para cima, com
,K caindo rapidamente para valores menores e tendendo a zero conforme
.