onde u(t) é a temperatura absoluta do corpo no instante t, T é a temperatura absoluta do ambiente e alpha é uma constante que depende dos parâmetros físicos corpo. No entanto, se u é muito maior do que T, então as soluções da Eq. (i) podem ser bem aproximadas pelas soluções da equação mais simples
d ud t=-alpha u^4
Suponha que um corpo com temperatura inicial de 2000^circ K está imerso em um meio à temperatura de 300^circ K e que alpha=2,0 times 10^-12 ^circ K^-3 / s.
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (ii).
(b) Faça o gráfico de u em função de t.

Passo 1

O enunciado nos diz que, quando ,u(t)gg T, a equação que governa o resfriamento do corpo é
dudt=-alpha,u^4,
onde ,u(t) é a temperatura absoluta do corpo no instante t, alpha=2,0times10^-12, K^-3 s^-1 e a condição inicial é
u(0)=2000; K
O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial ordinária separável.

Passo 2

Vamos separar variáveis e integrar. Escrevemos
duu^4=-alpha,dt
Integrando dos dois lados, temos
integral u^-4,du=-alphaintegral dt Longrightarrow l(-tfrac13u^-3r)= -alpha,t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Reescrevendo
1u^3=3,alpha,t + C',
com C'=-3C. Para t=0 e u(0)=2000, obtemos
1(2000)^3=C',
logo
C'=18times10^9=1,25times10^-10, K^-3

Passo 4

Substituindo C' na solução, vem
1u(t)^3 =1,25times10^-10+3,alpha,t =1,25times10^-10+6,0times10^-12,t
Logo a solução explícita é
boxedu(t) =l[,1,25times10^-10+6,0times10^-12,tr]^-tfrac13,

Passo 5

O gráfico de u em função de t parte de u(0)=2000,K e decresce rapidamente no início (porque o termo 1,25times10^-10 domina) e vai caindo cada vez mais lentamente à medida que t cresce, aproximando-se de zero quando ttoinfty.

Resposta

(a)
u(t) = l[1,25times10^-10 + 6,0times10^-12 tr]^-tfrac13
(b) O gráfico é uma curva decrescente convexa para cima, com u(0)=2000,K caindo rapidamente para valores menores e tendendo a zero conforme ttoinfty.

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