Assinale abaixo a série de Fourier que representa a funçāo
tal que
extendida de forma a ser par e periódica de periodo 4 .
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função $ f(x) = x - 2 $ definida no intervalo $ 0 < x \leq 2 $, e que é estendida de forma par (ou seja, simétrica em relação ao eixo y) e periódica com período 4. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier para funções pares, que envolvem apenas termos de cosseno.
Passo 2
Primeiro, como a função é par e tem período $ T = 4 $, a série de Fourier será composta apenas por termos de cosseno. A forma geral da série de Fourier para uma função par é:
Aqui, $ a_0 $ é o termo constante e $ a_n $ são os coeficientes dos cossenos.
Passo 3
Vamos calcular $ a_0 $, que é a média da função no intervalo. A fórmula é:
Como a função é par e o intervalo é de
a
, temos $ L = 2 $:
Como $ f(x) = x - 2 $ é ímpar em relação a $ x = 2 $ devido à extensão par, a integral de $ x $ de
a
será zero, restando:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. A fórmula para $ a_n $ em funções pares é:
Substituindo $ L = 2 $:
Devido à paridade da função, podemos simplificar para:
Resolvendo essa integral, obtemos:
Passo 5
Agora, juntando $ a_0 $ e $ a_n $, a série de Fourier fica:
Comparando com as alternativas, vemos que a opção que corresponde a essa expressão é a letra c).
Resposta
c)