Assinale abaixo a série de Fourier que representa a funçāo f(x) tal que f(x)=x-2,0< x <= 2, f extendida de forma a ser par e periódica de periodo 4 .
a) -2-sumn=1^infty 1n^2 cos n pi x2
b) -2-sumn=1^infty 1pi n^2 cos n pi x2
c) -4-sumn=1^infty [(-1)^n-1]n^2 cos n pi x2
d) -1- 8pi^2 sumk=1^infty 1(2 n-1)^2 cos (2 n-1) pi x2
e) -1-4 sumn=1^infty 1pi n^2 cos n pi x f) NDR

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função $ f(x) = x - 2 $ definida no intervalo $ 0 < x \leq 2 $, e que é estendida de forma par (ou seja, simétrica em relação ao eixo y) e periódica com período 4. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier para funções pares, que envolvem apenas termos de cosseno.

Passo 2

Primeiro, como a função é par e tem período $ T = 4 $, a série de Fourier será composta apenas por termos de cosseno. A forma geral da série de Fourier para uma função par é:
T = 4
Aqui, $ a_0 $ é o termo constante e $ a_n $ são os coeficientes dos cossenos.

Passo 3

Vamos calcular $ a_0 $, que é a média da função no intervalo. A fórmula é:
a0
Como a função é par e o intervalo é de a0 = 12L integral-L^L f(x) , dx a -2, temos $ L = 2 $:
2
Como $ f(x) = x - 2 $ é ímpar em relação a $ x = 2 $ devido à extensão par, a integral de $ x $ de L = 2 a a0 = 14 integral-2^2 (x - 2) , dx será zero, restando:
f(x) = x - 2

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. A fórmula para $ a_n $ em funções pares é:
an
Substituindo $ L = 2 $:
an
Devido à paridade da função, podemos simplificar para:
an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) , dx
Resolvendo essa integral, obtemos:
L = 2

Passo 5

Agora, juntando $ a_0 $ e $ a_n $, a série de Fourier fica:
a0
Comparando com as alternativas, vemos que a opção que corresponde a essa expressão é a letra c).

Resposta

c)

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