Determine a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ t y^{\prime} - 2 y = -t $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é $ y^{\prime} + P(t) y = Q(t) $. Para isso, vamos dividir todos os termos por $ t $:
Aqui, identificamos que $ P(t) = -\frac{2}{t} $ e $ Q(t) = -1 $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Vamos calcular a integral de $ P(t) $:
Então, o fator integrante é:
Como $ t $ geralmente é positivo em problemas desse tipo, podemos simplificar para $ \mu(t) = t^{-2} $.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pela $ \mu(t) $:
Simplificando os termos:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(t) y $:
Isso ocorre porque $ \frac{d}{dt}(t^{-2} y) = t^{-2} y^{\prime} + y \cdot \frac{d}{dt}(t^{-2}) = t^{-2} y^{\prime} - 2 t^{-3} y $, que é exatamente o que temos.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ t^{-2} y $, e a integral do lado direito é:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Então, temos:
Agora, resolvemos para $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ y(t) = t + C t^{2} $, onde $ C $ é uma constante real.