Determine a solução geral da equação diferencial
t y^prime-2 y=-t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ t y^{\prime} - 2 y = -t $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é $ y^{\prime} + P(t) y = Q(t) $. Para isso, vamos dividir todos os termos por $ t $:
y^prime + P(t) y = Q(t)
Aqui, identificamos que $ P(t) = -\frac{2}{t} $ e $ Q(t) = -1 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
mu(t)
Vamos calcular a integral de $ P(t) $:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Então, o fator integrante é:
P(t)
Como $ t $ geralmente é positivo em problemas desse tipo, podemos simplificar para $ \mu(t) = t^{-2} $.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pela $ \mu(t) $:
mu(t)
Simplificando os termos:
t^-2 y^prime - 2t t^-2 y = - t^-2

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(t) y $:
mu(t) y
Isso ocorre porque $ \frac{d}{dt}(t^{-2} y) = t^{-2} y^{\prime} + y \cdot \frac{d}{dt}(t^{-2}) = t^{-2} y^{\prime} - 2 t^{-3} y $, que é exatamente o que temos.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados da equação:
integral ddt(t^-2 y) dt = integral - t^-2 dt
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ t^{-2} y $, e a integral do lado direito é:
t^-2 y
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Então, temos:
t^-2 y = t^-1 + C
Agora, resolvemos para $ y $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é $ y(t) = t + C t^{2} $, onde $ C $ é uma constante real.

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