Assinale a alternativa que apresenta corretamente a matriz identidade de ordem 3 , denotada por I_{3}.
A) \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
B) \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]
C) \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
D) \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual alternativa apresenta corretamente a matriz identidade de ordem 3, denotada por I_{3}. As alternativas fornecidas são:
\text{A)}\quad \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 0\end{pmatrix}
\text{B)}\quad \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}
\text{C)}\quad \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\text{D)}\quad \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}]

Passo 2

Definição (fundamental): a matriz identidade de ordem n\), denotada por \(I_{n}\), é a matriz quadrada \(n\times n\) cujos elementos são \[(I_{n})_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{se } i=j,\\[4pt] 0 & \text{se } i\neq j. \end{cases}
Isto significa: todos os elementos da diagonal principal (posições (1,1),(2,2),\dots,(n,n)\]) valem \(1, e todos os outros elementos (fora da diagonal) valem 0. Uma forma prática de verificar se uma matriz é identidade é olhar para a diagonal: precisa ser só uns; e olhar para as entradas fora da diagonal: precisa ser só zeros.]

Passo 3

Vamos aplicar essa definição às alternativas, checando as entradas da diagonal principal e as entradas fora da diagonal.

Passo 4

Verificando a alternativa A:
\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 0\end{pmatrix}
As entradas da diagonal são (1,1)=0, (2,2)=0, (3,3)=0. Pela definição, na identidade essas três entradas deveriam ser 1. Portanto a alternativa A NÃO é I_{3}.]

Passo 5

Verificando a alternativa B:
\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}
As entradas da diagonal são todas 1, mas as entradas fora da diagonal também são 1. Na identidade, as entradas fora da diagonal devem ser 0. Logo a alternativa B NÃO é I_{3}.]

Passo 6

Verificando a alternativa C:
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
Aqui as entradas da diagonal são (1,1)=1, (2,2)=1, (3,3)=1, e todas as entradas fora da diagonal são 0. Isso coincide exatamente com a definição de I_{3}. Portanto a alternativa C é uma matriz identidade de ordem 3.]

Passo 7

Verificando a alternativa D por completude:
\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}
As entradas da diagonal são (1,1)=0, (2,2)=1, (3,3)=0. Nem todas as entradas da diagonal são 1, então D NÃO é I_{3}.]

Resposta

C

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