\int_{\frac{11 \pi}{2}}^{6 \pi} 9 \operatorname{sen}(x) d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\frac{11\pi}{2}}^{6\pi} 9\operatorname{sen}(x)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 9\operatorname{sen}(x).
  • O limite inferior é \dfrac{11\pi}{2}.
  • O limite superior é 6\pi.
    O objetivo é encontrar o valor numérico da integral.

Passo 2

Estratégia: usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Logo primeiro vou encontrar uma primitiva de 9\operatorname{sen}(x), depois avalio entre os limites dados.

Passo 3

Encontrando a primitiva. Sabendo que
\frac{d}{dx}\cos x = -\operatorname{sen} x,
conclui-se que uma primitiva de \operatorname{sen} x é -\cos x. Multiplicando por 9, uma primitiva de 9\operatorname{sen} x é
F(x) = -9\cos x.

Passo 4

Avaliar F nos limites e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{\frac{11\pi}{2}}^{6\pi} 9\operatorname{sen}(x)\,dx = F(6\pi)-F\!\left(\tfrac{11\pi}{2}\right) = -9\cos(6\pi) - \bigl(-9\cos\!\bigl(\tfrac{11\pi}{2}\bigr)\bigr).
Agora calculo os cossenos:
  • \cos(6\pi)=\cos(2\pi\cdot 3)=1.
  • Para \cos\!\bigl(\tfrac{11\pi}{2}\bigr) uso periodicidade: \tfrac{11\pi}{2}-4\pi=\tfrac{3\pi}{2}, então
\cos\!\bigl(\tfrac{11\pi}{2}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0.
Substituindo:
-9\cos(6\pi) - \bigl(-9\cos\!\bigl(\tfrac{11\pi}{2}\bigr)\bigr) = -9\cdot 1 - \bigl(-9\cdot 0\bigr) = -9.

Resposta

-9

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